高一數(shù)學(xué)教材下冊《向量的數(shù)量積》練習(xí)及解析(2)
高一數(shù)學(xué)教材下冊《向量的數(shù)量積》練習(xí)及解析
二、填空題:(本大題共4小題,每小題6分,共24分,把正確答案填在題后的橫線上.)
7.(2010•江西)已知向量a,b滿足|b|=2,a與b的夾角為60°,則b在a上的投影是________.
解析:b在a上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1.
答案:1
8.(2010•浙江)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),則|2α+β|的值是________.
解析:由于α⊥(α-2β),所以α•(α-2β)=|α|2-2α•β=0,故2α•β=1,所以|2α+β|=4|α|2+4α•β+|β|2=4+2+4=10.
答案:10
9.已知|a|=2,|b|=2,a與b的夾角為45°,要使λb-a與a垂直,則λ=________.
解析:由λb-a與a垂直,(λb-a)•a=λa•b-a2=0,所以λ=2.
答案:2
10.在△ABC中,O為中線AM上的一個動點,若AM=2,則 )的最小值是________.
解析:令| |=x且0≤x≤2,則| |=2-x.
=-2(2-x)x=2(x2-2x)=2(x-1)2-2≥-2.
∴ 的最小值為-2.
答案:-2
三、解答題:(本大題共3小題,11、12題13分,13題14分,寫出證明過程或推演步驟.)
11.已知|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為45°,求使向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角的λ的取值范圍.
解:由|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為45°,
則a•b=|a||b|cos45°=2×1×22=1.
而(2a+λb)•(λa-3b)=2λa2-6a•b+λ2a•b-3λb2=λ2+λ-6.
設(shè)向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角為θ,
則cosθ=(2a+λb)•(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0,且cosθ≠1,
∴(2a+λb)•(λa-3b)>0,∴λ2+λ-6>0,
∴λ>2或λ<-3.
假設(shè)cosθ=1,則2a+λb=k(λa-3b)(k>0),
∴2=kλ,λ=-3k,解得k2=-23.
故使向量2a+λb和λa-3b夾角為0°的λ不存在.
所以當(dāng)λ>2或λ<-3時,向量(2a+λb)與(λa-3b)的夾角是銳角.
評析:由于兩個非零向量a,b的夾角θ滿足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=a•b|a||b|去判斷θ分五種情況:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ為鈍角;cosθ>0且cosθ≠1,θ為銳角.
12.設(shè)在平面上有兩個向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=-12,32.
(1)求證:向量a+b與a-b垂直;
(2)當(dāng)向量3a+b與a-3b的模相等時,求α的大小.
解:(1)證明:因為(a+b)•(a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-14+34=0,故a+b與a-b垂直.
(2)由|3a+b|=|a-3b|,兩邊平方得3|a|2+23a•b+|b|2=|a|2-23a•b+3|b|2,
所以2(|a|2-|b|2)+43a•b=0,而|a|=|b|,所以a•b=0,則-12•cosα+32•sinα=0,
即cos(α+60°)=0,
∴α+60°=k•180°+90°,
即α=k•180°+30°,k∈Z,
又0°≤α<360°,則α=30°或α=210°.
13.已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=cosπ2-θ,sinπ2-θ,
(1)求證:a⊥b;
(2)若存在不等于0的實數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb滿足x⊥y,試求此時k+t2t的最小值.
解:(1)證明:∵a•b=cos(-θ)•cosπ2-θ+
sin(-θ)•sinπ2-θ=sinθcosθ-sinθcosθ=0.
∴a⊥b.
(2)由x⊥y,得x•y=0,
即[a+(t2+3)b]•(-ka+tb)=0,
∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a•b=0,
∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.
又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,
∴k=t3+3t,
∴k+t2t=t3+t2+3tt=t2+t+3
=t+122+114.
故當(dāng)t=-12時,k+t2t有最小值114.
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