高一數(shù)學(xué)必修一集合與函數(shù)的概念

　　集合與函數(shù)都是高一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識點，需要學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握，下面學(xué)習(xí)啦的小編將為大家?guī)黻P(guān)于集合與函數(shù)的概念的分析介紹，希望能夠幫助到大家。

　　高一數(shù)學(xué)必修一集合與函數(shù)概念介紹

　　第一章集合與函數(shù)概念

　　一：集合的含義與表示

　　1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。

　　(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。

　　(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　3、集合的表示：{…}

　　(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}

　　b、描述法：

　?、賲^(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。

　　{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　?、谡Z言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集：含有有限個元素的集合

　　(2)無限集：含有無限個元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合

　　5、元素與集合的關(guān)系：

　　(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

　　(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A

　　注意：常用數(shù)集及其記法：

　　非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

　　正整數(shù)集N*或N+

　　整數(shù)集Z

　　有理數(shù)集Q

　　實數(shù)集R

　　6、集合間的基本關(guān)系

　　(1).“包含”關(guān)系(1)—子集

　　定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作：(或BA)

　　注意：有兩種可能(1)A是B的一部分;

　　(2)A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　(2).“包含”關(guān)系(2)—真子集

　　如果集合，但存在元素xB且x￠A，則集合A是集合B的真子集

　　如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含與B

　　(3).“相等”關(guān)系：A=B“元素相同則兩集合相等”

　　如果AB同時BA那么A=B

　　(4).不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　(5)集合的性質(zhì)

　?、偃魏我粋€集合是它本身的子集。AA

　　②如果AB,BC,那么AC

　?、廴绻鸄B且BC，那么AC

　?、苡衝個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

　　7、集合的運算

　　運算類型 交集 并集 補集

　　定義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}). 全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U

　　設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)記作，

　　CSA=

　　韋恩圖示

　　性質(zhì) A∩A=A

　　A∩Φ=Φ

　　A∩B=BA

　　A∩BA

　　A∩BB AUA=A

　　AUΦ=A

　　AUB=BUA

　　AUBA

　　AUBB (CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)

　　(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)

　　AU(CuA)=U

　　A∩(CuA)=Φ.

　　二、函數(shù)的概念

　　1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A.

　　(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;

　　(2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

　　2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則

　　3.函數(shù)的表示方法：

　　(1)解析法：明確函數(shù)的定義域

　　(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。

　　(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應(yīng)定義域的特征。

　　4、函數(shù)圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上.

　　(2)畫法

　　A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。

　　(3)函數(shù)圖像平移變換的特點：

　　1)加左減右——————只對x

　　2)上減下加——————只對y

　　3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)

　　4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)

　　5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)

　　6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得

　　函數(shù)y=|f(x)|

　　7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|)

　　三、函數(shù)的基本性質(zhì)

　　1、函數(shù)解析式子的求法

　　(1)、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

　　(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：

　　1)代入法：

　　2)待定系數(shù)法：

　　3)換元法：

　　4)拼湊法：

　　2.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

　　求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

　　(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

　　(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意的x的值組成的集合.

　　(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

　　3、相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));

　?、诙x域一致(兩點必須同時具備)

　　4、區(qū)間的概念：

　　(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

　　(2)無窮區(qū)間

　　(3)區(qū)間的數(shù)軸表示

　　5、值域(先考慮其定義域)

　　(1)觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域;

　　(2)反表示法：針對分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，

　　由X的范圍類似求Y的范圍。

　　(3)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，

　　注意定義域的范圍。

　　(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。

　　6.分段函數(shù)

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

　　(2)各部分的自變量的取值情況.

　　(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.

　　(4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含絕對值的函數(shù)

　　7.映射

　　一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系)：A(原象)B(象)”

　　對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

　　(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;

　　(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)

　　8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值

　　(1)、增減函數(shù)

　　1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1

　　2)如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，

　　那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

　　注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種

　　(2)、圖象的特點

　　如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

　　(3)、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

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