九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)試卷
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)試卷
同學(xué)們?cè)诎褦?shù)學(xué)理論知識(shí)復(fù)習(xí)好的同時(shí),也應(yīng)該要多做題,從題中找到自己的不足,及時(shí)學(xué)懂,下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)試卷,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末檢測(cè)試卷:
一、選擇題:本大題共16個(gè)小題,1-6小題每小題2分,7-16小題每小題2分,共42分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)把正確的答案的序號(hào)填寫在對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi).
1.方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=﹣1 D.x1=1+ ,x2=1﹣
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本題中,把2x移項(xiàng)后,左邊是完全平方公式,再直接開(kāi)方即可.
【解答】解:把方程x2+1=2x移項(xiàng),得到x2﹣2x+1=0,
∴(x﹣1)2=0,
∴x﹣1=0,
∴x1=x2=1,
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】配方法的一般步驟:
(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;
(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;
(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).
2.在某一時(shí)刻,測(cè)得一根高為1.8m的竹竿的影長(zhǎng)為3m,同時(shí)測(cè)得一根旗桿的影長(zhǎng)為25m,那么這根旗桿的高度為( )
A.10m B.12m C.15m D.40m
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列式計(jì)算即可得解.
【解答】解:設(shè)旗桿高度為x米,
由題意得, = ,
解得:x=15.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用,主要利用了同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比,需熟記.
3.一臺(tái)印刷機(jī)每年可印刷的書本數(shù)量y(萬(wàn)冊(cè))與它的使用時(shí)間x(年)成反比例關(guān)系,當(dāng)x=2時(shí),y=20.則y與x的函數(shù)圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用;反比例函數(shù)的圖象.
【分析】設(shè)y= (k≠0),根據(jù)當(dāng)x=2時(shí),y=20,求出k,即可得出y與x的函數(shù)圖象.
【解答】解:設(shè)y= (k≠0),
∵當(dāng)x=2時(shí),y=20,
∴k=40,
∴y= ,
則y與x的函數(shù)圖象大致是C,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出解析式,根據(jù)函數(shù)的解析式得出函數(shù)的圖象.
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以2.5cm為半徑作⊙C,則斜邊AB與⊙C的位置關(guān)系是( )
A.相交 B.相切 C.相離 D.無(wú)法確定
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D,根據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形的面積公式求出CD,得出d
【解答】解:過(guò)C作CD⊥AB于D,如圖所示:
∵在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3,
∴由勾股定理得:AB= = =5,
∵△ABC的面積= AC×BC= AB×CD,
∴3×4=5CD,
∴CD=2.4<2.5,
即d
∴斜邊AB與⊙C的位置關(guān)系是相交,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,三角形的面積,直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用;解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線,并進(jìn)一步求出CD的長(zhǎng),注意:直線和圓的位置關(guān)系有:相離,相切,相交.
5.在正方形網(wǎng)格中,△ABC的位置如圖所示,則cosB的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】壓軸題;網(wǎng)格型.
【分析】先設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,然后找個(gè)與∠B有關(guān)的RT△ABD,算出AB的長(zhǎng),再求出BD的長(zhǎng),即可求出余弦值.
【解答】解:設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則AB=4 ,BD=4,
∴cos∠B= = .
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的知識(shí),此題比較簡(jiǎn)單,關(guān)鍵是找出與角B有關(guān)的直角三角形.
6.關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根為0,則m的值為( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考點(diǎn)】一元二次方程的解.
【分析】方程的根即方程的解,把x=0代入方程即可得到關(guān)于m的方程,即可求得m的值.另外要注意m﹣1≠0這一條件.
【解答】解:根據(jù)題意得:m2﹣1=0且m﹣1≠0
解得m=﹣1
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程的解的定義,容易忽視的條件是m﹣1≠0.
7.如圖,已知∠1=∠2,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】先根據(jù)∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE,再根據(jù)相似三角形的判定方法解答.
【解答】解:∵∠1=∠2,
∴∠DAE=∠BAC,
A、添加∠C=∠E,可用兩角法判定△ABC∽△ADE,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、添加∠B=∠ADE,可用兩角法判定△ABC∽△ADE,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、添加 = ,可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、添加 = ,不能判定△ABC∽△ADE,故本選項(xiàng)正確;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定,先求出兩三角形的一對(duì)相等的角∠BAC=∠DAE是確定其他條件的關(guān)鍵,注意掌握相似三角形的幾種判定方法.
8.如圖,關(guān)于拋物線y=(x﹣1)2﹣2,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣2) B.對(duì)稱軸是直線x=l
C.開(kāi)口方向向上 D.當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣2),對(duì)稱軸是直線x=1,根據(jù)a=1>0,得出開(kāi)口向上,當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,根據(jù)結(jié)論即可判斷選項(xiàng).
【解答】解:∵拋物線y=(x﹣1)2﹣2,
A、因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)是(1,﹣2),故說(shuō)法正確;
B、因?yàn)閷?duì)稱軸是直線x=1,故說(shuō)法正確;
C、因?yàn)閍=1>0,開(kāi)口向上,故說(shuō)法正確;
D、當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而增大,故說(shuō)法錯(cuò)誤.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握,能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵.
9.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式(組).
【專題】壓軸題.
【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱性,可得出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解:由圖象得:對(duì)稱軸是x=2,其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0),
∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0).
利用圖象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<﹣1或x>5.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)利用圖象解一元二次方程根的情況,很好地利用數(shù)形結(jié)合,題目非常典型.
10.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則∠ADC的大小為( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】設(shè)∠ADC的度數(shù)=α,∠ABC的度數(shù)=β,由題意可得 ,求出β即可解決問(wèn)題.
【解答】解:設(shè)∠ADC的度數(shù)=α,∠ABC的度數(shù)=β;
∵四邊形OADC是平行四邊形,
∴∠ADC=∠AOC;
∵∠ADC= β,∠AOC=α;而α+β=180°,
∴ ,
解得:β=120°,α=60°,∠ADC=60°,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用問(wèn)題;應(yīng)牢固掌握該定理并能靈活運(yùn)用.
11.用一個(gè)半徑為18cm,圓心角為140°的扇形做成一個(gè)圓錐的側(cè)面,這個(gè)圓錐的底面半徑是( )
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)可得.
【解答】解:設(shè)此圓錐的底面半徑為r,由題意,得
2πr= ,
解得r=7.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).本題就是把扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系,列方程求解.
12.在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(6,2)、B(6,0),以原點(diǎn)為位似中心,相似比為1:3,把線段AB縮小,則過(guò)A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;位似變換.
【專題】壓軸題.
【分析】先根據(jù)相似比為1:3,求A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解析式.
【解答】解:∵△A1B1O和ABO以原點(diǎn)為位似中心,
∴△A1B1O∽△ABO,相似比為1:3,
∴A1B1= ,OB1=2,
∴A1的坐標(biāo)為(2, )或(﹣2,﹣ ),
設(shè)過(guò)此點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y= ,則k= ,
所以解析式為y= .
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵運(yùn)用位似知識(shí)求對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
13.如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細(xì)),則所得扇形DAB的面積為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】由正方形的邊長(zhǎng)為3,可得弧BD的弧長(zhǎng)為6,然后利用扇形的面積公式:S扇形DAB= ,計(jì)算即可.
【解答】解:∵正方形的邊長(zhǎng)為3,
∴弧BD的弧長(zhǎng)=6,
∴S扇形DAB= = ×6×3=9.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積公式,解題的關(guān)鍵是:熟記扇形的面積公式S扇形DAB= .
14.如圖,函數(shù)y= 和y= 的圖象分別是l1和l2,設(shè)點(diǎn)P在l1上,PC⊥x軸,垂足為C,交l2于點(diǎn)A,PD⊥y軸,垂足為D,交l2于點(diǎn)B,則三角形PAB的面積為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】設(shè)P的坐標(biāo)是(a, ),推出A的坐標(biāo)和B的坐標(biāo),求出∠APB=90°,求出PA、PB的值,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
【解答】解:∵點(diǎn)P在y= 上,
∴|xp|×|yp|=|k|=1,
∴設(shè)P的坐標(biāo)是(a, )(a為正數(shù)),
∵PA⊥x軸,
∴A的橫坐標(biāo)是a,
∵A在y=﹣ 上,
∴A的坐標(biāo)是(a,﹣ ),
∵PB⊥y軸,
∴B的縱坐標(biāo)是 ,
∵B在y=﹣ 上,
∴代入得: =﹣ ,
解得:x=﹣3a,
∴B的坐標(biāo)是(﹣3a, ),
∴PA=| ﹣(﹣ )|= ,
PB=|a﹣(﹣3a)|=4a,
∵PA⊥x軸,PB⊥y軸,x軸⊥y軸,
∴PA⊥PB,
∴△PAB的面積是: PA×PB= × ×4a=8.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)和三角形面積公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是能根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得出A、B的坐標(biāo),本題具有一定的代表性,是一道比較好的題目.
15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:
?、賏+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【專題】壓軸題.
【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào),由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào),然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】解:①當(dāng)x=1時(shí),結(jié)合圖象y=a+b+c<0,故此選項(xiàng)正確;
?、诋?dāng)x=﹣1時(shí),圖象與x軸交點(diǎn)負(fù)半軸明顯小于﹣1,∴y=a﹣b+c>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
③由拋物線的開(kāi)口向上知a>0,
∵對(duì)稱軸為1>x=﹣ >0,
∴2a>﹣b,
即2a+b>0,
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
④對(duì)稱軸為x=﹣ >0,
∴a、b異號(hào),即b<0,
圖象與坐標(biāo)相交于y軸負(fù)半軸,
∴c<0,
∴abc>0,
故本選項(xiàng)正確;
∴正確結(jié)論的序號(hào)為①④.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系,同學(xué)們應(yīng)掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定:
(1)a由拋物線開(kāi)口方向確定:開(kāi)口方向向上,則a>0;否則a<0;
(2)b由對(duì)稱軸和a的符號(hào)確定:由對(duì)稱軸公式x=﹣ 判斷符號(hào);
(3)c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定:交點(diǎn)在y軸正半軸,則c>0;否則c<0;
(4)當(dāng)x=1時(shí),可以確定y=a+b+C的值;當(dāng)x=﹣1時(shí),可以確定y=a﹣b+c的值.
16.如圖,正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O,EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H,則 的值是( )
A. B. C. D.2
【考點(diǎn)】正多邊形和圓.
【專題】壓軸題.
【分析】首先設(shè)⊙O的半徑是r,則OF=r,根據(jù)AO是∠EAF的平分線,求出∠COF=60°,在Rt△OIF中,求出FI的值是多少;然后判斷出OI、CI的關(guān)系,再根據(jù)GH∥BD,求出GH的值是多少,再用EF的值比上GH的值,求出 的值是多少即可.
【解答】解:如圖,連接AC、BD、OF, ,
設(shè)⊙O的半徑是r,
則OF=r,
∵AO是∠EAF的平分線,
∴∠OAF=60°÷2=30°,
∵OA=OF,
∴∠OFA=∠OAF=30°,
∴∠COF=30°+30°=60°,
∴FI=r•sin60°= ,
∴EF= ,
∵AO=2OI,
∴OI= ,CI=r﹣ = ,
∴ ,
∴ ,
∴ = ,
即則 的值是 .
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形與圓的關(guān)系,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確正多邊形的有關(guān)概念:①中心:正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.②正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.③中心角:正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.④邊心距:中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
二、填空題:本大題共4小題,每小題3分,共12分,請(qǐng)把各小題正確答案填寫在對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線處.
17.為解決“最后一公里”的交通接駁問(wèn)題,北京市投放了大量公租自行車供市民使用,到2014年底,全市已有公租自行車25000輛,預(yù)計(jì)到2016年底,全市將有公租自行車42250輛,則兩年的平均增長(zhǎng)率為 30% .
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.
【分析】一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率),設(shè)增長(zhǎng)率為x,由題意可得25000(1+x)2=42250,經(jīng)解和檢驗(yàn)后得增長(zhǎng)率是30%.
【解答】解:設(shè)增長(zhǎng)率為x,由題意可得25000(1+x)2=42250
解得x=0.3或﹣2.3(不合題意,舍去)
即增長(zhǎng)率是30%,
故答案為:30%.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程中的增長(zhǎng)率問(wèn)題,一般形式為a(1+x)2=b,a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量,b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量,難度不大.
18.如圖,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD=3,AB=7,BF=2,則FC的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理得到EF=BD=4,根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,計(jì)算即可.
【解答】解:∵AD=3,AB=7,
∴BD=4,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四邊形BDEF是平行四邊形,
∴EF=BD=4,
∵EF∥AB,
∴ = ,即 = ,
解得CF= .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用和平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
19.如圖,用總長(zhǎng)度為12米的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成如圖所示的外觀為矩形的框架,所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行,則矩形框架ABCD的最大面積為 4 m2.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】用含x的代數(shù)式(12﹣3x)÷3=4﹣x表示橫檔AD的長(zhǎng),然后根據(jù)矩形面積公式得到二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì),求出矩形的最大面積
【解答】解:∵AB為x米,則AD= =4﹣x,
S長(zhǎng)方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
當(dāng)x=2時(shí),S取得最大值=4;
∴長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大為4m2.
故答案為:4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)面積公式得二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.
20.如圖,在⊙O中,AB是⊙O的直徑,AB=8cm,C、D為弧AB的三等分點(diǎn),M是AB上一動(dòng)點(diǎn),CM+DM的最小值是 8 cm.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題;勾股定理;垂徑定理.
【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D與AB相交于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置,根據(jù)垂徑定理可得 = ,然后求出C′D為直徑,從而得解.
【解答】解:如圖,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接C′D與AB相交于點(diǎn)M,
此時(shí),點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置,
由垂徑定理, = ,
∴ = ,
∵ = = ,AB為直徑,
∴C′D為直徑.則CD′=AB=8(cm).
故答案是:8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,垂徑定理,熟記定理并作出圖形,判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:本大題共6個(gè)小題,共66分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
21.已知反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠1).
(1)其圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為P,若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2,求k的值;
(2)若在其圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,求k的取值范圍;
(3)若其圖象的一支位于第二象限,在這一支上任取兩點(diǎn)A(x1、x2)、B(x2、y2),當(dāng)y1>y2時(shí),試比較x1與x2的大小;
(4)若在其圖象上任取一點(diǎn),向x軸和y軸作垂線,若所得矩形面積為6,求k的值.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,2),由點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上可求出m的值,進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= 的圖象上,所以2= ,解得k=5;
(2)由于在反比例函數(shù)y= 圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,故k﹣1>0,求出k的取值范圍即可;
(3)反比例函數(shù)y= 圖象的一支位于第二象限,故在該函數(shù)圖象的每一支上,y隨x的增大而增大,所以A(x1,y1)與點(diǎn)B(x2,y2)在該函數(shù)的第二象限的圖象上,且y1>y2,故可知x1>x2;
(4)利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義直接寫出答案即可.
【解答】解:(1)由題意,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,2)
∵點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上,
∴2=m,即m=2.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2).
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴2= ,解得k=5.
(2)∵在反比例函數(shù)y= 圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,
∴k﹣1>0,解得k>1.
(3)∵反比例函數(shù)y= 圖象的一支位于第二象限,
∴在該函數(shù)圖象的每一支上,y隨x的增大而增大.
∵點(diǎn)A(x1,y1)與點(diǎn)B(x2,y2)在該函數(shù)的第二象限的圖象上,且y1>y2,
∴x1>x2.
(4)∵在其圖象上任取一點(diǎn),向兩坐標(biāo)軸作垂線,得到的矩形為6,
∴|k|=6,
解得:k=±6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及反比例函數(shù)的性質(zhì),熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.
22.如圖,一艘漁船正以30海里/小時(shí)的速度由西向東趕魚群,在A處看風(fēng)小島C在船的北偏東60度.40分鐘后,漁船行至B處,此時(shí)看見(jiàn)小島C在船的北偏東30度.已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū),問(wèn)這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群,是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能?
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.
【分析】根據(jù)題意實(shí)質(zhì)是比較C點(diǎn)到AB的距離與10的大小.因此作CD⊥AB于D點(diǎn),求CD的長(zhǎng).
【解答】解:作CD⊥AB于D,
根據(jù)題意,AB=30× =20,∠CAD=30°,∠CBD=60°,
在Rt△ACD中,AD= = CD,
在Rt△BCD中,BD= = CD,
∵AB=AD﹣BD,
∴ CD﹣ CD=20,
CD= >10,
所以不可能.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,“化斜為直”是解三角形的常規(guī)思路,常需作垂線(高),構(gòu)造直角三角形.原則上不破壞特殊角(30°、45°、60°).
23.如圖,已知△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E,連接OE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若CD= ,∠ACB=30°,求OE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連接OD、BD,求出BD⊥AC,AD=DC,根據(jù)三角形的中位線得出OD∥BC,推出OD⊥DE,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2)解直角三角形求出BC、BD,求出AB得出OD,根據(jù)三角形的面積公式求出高DE,在△ODE中,根據(jù)勾股定理求出OE即可.
【解答】(1)證明:連接OD、BD,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AC,
∵AB=BC,
∴D為AC中點(diǎn),
∵OA=OB,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD,
∵OD為半徑,
∴DE是⊙O的切線;
(2)解:∵CD= ,∠ACB=30°,
∴cos30°= ,
∴BC=2,
∴BD= BC=1,
∵AB=BC,
∴∠A=∠C=30°,
∵BD=1,
∴AB=2BD=2,
∴OD=1,
在Rt△CDB中,由三角形面積公式得:BC×DE=BD×CD,
1× =2DE,
DE= ,
在Rt△ODE中,由勾股定理得:OE= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定,等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積公式,含30度角的直角三角形,解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.
24.某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,其單價(jià)隨市場(chǎng)變化而做相應(yīng)調(diào)整,營(yíng)銷人員根據(jù)前三次單價(jià)變化的情況,繪制了如下統(tǒng)計(jì)表及不完整的折線圖:
第一次 第二次 第三次
A產(chǎn)品單價(jià)(元/件) 6 5.2 6.5
B產(chǎn)品單價(jià)(元/件) 3.5 4 3
并求得了A產(chǎn)品三次單價(jià)的平均數(shù)和方差:
;SA2= [(6﹣5.9)2+(5.2﹣5.9)2+(6.5﹣5.9)2]=
(1)補(bǔ)全“A、B產(chǎn)品單價(jià)變化的折線圖”,B產(chǎn)品第三次的單價(jià)比上一次的單價(jià)降低了百分之多少?
(2)求B產(chǎn)品三次單價(jià)的方差,并比較哪種產(chǎn)品的單價(jià)波動(dòng)小;
(3)該廠決定第四次調(diào)價(jià),A產(chǎn)品的單價(jià)仍為6.5元/件.
則A產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)是 6.25 元/件.
若A產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)是B產(chǎn)品四次單價(jià)中位數(shù)的2倍少1,則B產(chǎn)品的第四次單價(jià)為 3.75 元/件.
【考點(diǎn)】方差;折線統(tǒng)計(jì)圖;中位數(shù).
【分析】(1)根據(jù)題目提供數(shù)據(jù)補(bǔ)充折線統(tǒng)計(jì)圖即可;
(2)分別計(jì)算平均數(shù)及方差即可;
(3)首先確定這四次單價(jià)的中位數(shù),然后確定第四次調(diào)價(jià)的范圍,根據(jù)“A產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)是B產(chǎn)品四次單價(jià)中位數(shù)的2倍少1”列式求出B產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)即可求得B產(chǎn)品的第四次單價(jià).
【解答】解:(1)補(bǔ)全“A、B產(chǎn)品單價(jià)變化的折線圖”如圖所示:
B產(chǎn)品第三次的單價(jià)比上一次的單價(jià)降低的百分?jǐn)?shù)為: ×100%=25%;
(2) = (3.5+4+3)=3.5;
SB2= [(3.5﹣3.5)2+(4﹣3.5)2+(3﹣3.5)2]= ,
∵ < ,
∴B產(chǎn)品的單價(jià)波動(dòng)小;
(3)A產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)是: =6.25,
設(shè)B產(chǎn)品這四次單價(jià)的中位數(shù)是x元/件.
根據(jù)題意:2x﹣1=6.25,
x=3.625,
∴第四次單價(jià)應(yīng)大于3.5,小于4,
∵ =3.625,
∴a=3.75元/件
故答案為6.25,3.75.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差、條形統(tǒng)計(jì)圖、算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)的知識(shí),解題的關(guān)鍵是根據(jù)方差公式進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算,難度不大.
25.(1)問(wèn)題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.求證:AD•BC=AP•BP.
(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題:
如圖3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠DPC=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,求t的值.
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=6,根據(jù)勾股定理可得DE=8,由題可得DC=DE=8,則有BC=10﹣8=2.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)AD•BC=AP•BP,就可求出t的值.
【解答】(1)證明:如圖1,
∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠APD=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴ ,
∴AD•BC=AP•BP;
(2)結(jié)論AD•BC=AP•BP仍成立;
理由:證明:如圖2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,
又∵∠BPD=∠A+∠APD,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD,
∵∠DPC=∠A=θ,
∴∠BPC=∠APD,
又∵∠A=∠B=θ,
∴△ADP∽△BPC,
∴ ,
∴AD•BC=AP•BP;
(3)解:如下圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,
∵AD=BD=10,AB=12,
∴AE=BE=6
∴DE= =8,
∵以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,
∴DC=DE=8,
∴BC=10﹣8=2,
∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
又∵∠DPC=∠A,
∴∠DPC=∠A=∠B,
由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得AD•BC=AP•BP,
又∵AP=t,BP=12﹣t,
∴t(12﹣t)=10×2,
∴t=2或t=10,
∴t的值為2秒或10秒.
【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)K型相似模型的探究和應(yīng)用,考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí),以及運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力,滲透了特殊到一般的思想.
26.如圖,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=﹣2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個(gè)公共點(diǎn),求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(2)由(1)的解析式求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出直線OD的解析式,設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h, h),就可以表示出平移后的解析式,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)就可以求出h值,拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)可以得出 ,得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0,從而得出△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0求出h=4,從而得出結(jié)論.
【解答】解:(1)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A(﹣3,0),B(﹣1,0)兩點(diǎn),
解得 ,
∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(﹣2,﹣1),
∴直線OD的解析式為y= x,
于是可設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h, h),
∴平移后的拋物線的解析式為y=(x﹣h)2+ h,
當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),∵C(0,9),
∴h2+ h=9.
解得h= ,
∴當(dāng) ≤h< 時(shí),平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),
由方程組 ,
得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0,
∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0,
解得h=4,
此時(shí)拋物線y=(x﹣4)2+2與直線CD唯一的公共點(diǎn)為(3,3),點(diǎn)(3,3)在射線CD上,符合題意.
故平移后拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是 ≤h< 或h=4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式,二次函數(shù)圖象與幾何變換及方程組與交點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用,利用根的判別式判斷得出是解題關(guān)鍵.
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