九年級數學上冊期末調研測試題
九年級數學上冊期末調研測試題
在期末按考試即將來臨之際，同學們需要準備一些九年級往年的數學期末考試來復習，下面是學習啦小編為大家?guī)淼年P于九年級數學上冊期末調研測試題，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數學上冊期末調研測試題：
一、選擇題(每題3分，共45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡上)
1.下列四個點，在反比例函數y= 圖象上的是( )
A.(2，﹣6) B.(8，4) C.(3，﹣4) D.(﹣6，﹣2)
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.
【專題】計算題.
【分析】分別計算出自變量為2、8、3、﹣6時的函數值，然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征可判斷四個點是否在反比例函數y= 圖象上.
【解答】解：當x=2時，y= =6;當x=8時，y= = ;當x=3時，y= =4;當x=﹣6時，y= =﹣2，
所以點(2，﹣6)，(8，4)，(3，﹣4)不在反比例函數y= 圖象上，而點(﹣6，﹣2)在反比例函數y= 圖象上.
故選D.
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y= (k為常數，k≠0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(x，y)的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k.
2.下面方程中，有兩個不等實數根的方程是( )
A.x2+x﹣1=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2﹣x+ =0 D.x2+1=0
【考點】根的判別式.
【專題】轉化思想.
【分析】分別計算各選項的△，來判斷根的情況，一元二次方程有兩個不等實數根即判別式的值大于0.
【解答】解：A、∵△=b2﹣4ac=1+4=5>0，
∴方程有兩個不相等的實數根.
B、∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0，
∴方程沒有實數根.
C、∵△=b2﹣4ac=1﹣1=0，
∴方程有兩個相等的實數根.
D、移項后得，x2=﹣1
∵任何數的平方一定是非負數.
∴方程無實根.故錯誤.
故選A.
【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0⇔方程沒有實數根.
3.如果兩個相似多邊形的相似比為1：5，則它們的面積比為( )
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
【考點】相似多邊形的性質.
【分析】根據相似多邊形面積的比等于相似比的平方即可得出結論.
【解答】解：∵兩個相似多邊形的相似比為1：5，
∴它們的面積比=12：52=1：25.
故選A.
【點評】本題考查的是相似多邊形的性質，熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵.
4.下列命題中正確的是( )
A.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
B.三個角是直角的多邊形是矩形
C.兩條對角線相等的四邊形是矩形
D.有一個角是直角的四邊形是矩形
【考點】命題與定理;矩形的判定.
【分析】根據矩形的判定方法對四個命題分別進行判斷.
【解答】解：A、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項為真命題;
B、三個角是直角的四邊形是矩形，所以B選項為假命題;
C、兩條對角線相互平分且相等的四邊形是矩形，所以C選項假真命題;
D、有三個角是直角的四邊形是矩形，所以D選項為假命題.
故選A.
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.
5.在反比例函數 的圖象上有兩點(﹣1，y1)， ，則y1﹣y2的值是( )
A.負數 B.非正數 C.正數 D.不能確定
【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】反比例函數 ：當k<0時，該函數圖象位于第二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大.
【解答】解：∵反比例函數 中的k<0，
∴函數圖象位于第二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大;
又∵點(﹣1，y1)和 均位于第二象限，﹣1<﹣ ，
∴y1
∴y1﹣y2<0，即y1﹣y2的值是負數，
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征.注意：反比例函數的增減性只指在同一象限內.
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值為( )
A.1 B. C. D.
【考點】特殊角的三角函數值.
【分析】先求出∠A的度數，然后將特殊角的三角函數值代入求解.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，
則sinA+cosB= + =1.
故選A.
【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值.
7.高4米的旗桿在水平地面上的影長5米，此時測得附近一個建筑物的影子長20米，則該建筑物的高是( )
A.16米 B.20米 C.24米 D.30米
【考點】相似三角形的應用.
【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據此列方程即可解答.
【解答】解：∵ ，
即 ，
∴設建筑物的高是x米.則 =
解得：x=16.
故該建筑物的高為16米.
故選A.
【點評】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出該建筑物的高度，體現了方程的思想.
8.下面四個圖是同一天四個不同時刻樹的影子，其時間由早到晚的順序為( )
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【考點】平行投影.
【分析】由于太陽早上從東方升起，則早上樹的影子向西;傍晚太陽在西邊落下，此時樹的影子向東，于是可判斷四個時刻的時間順序.
【解答】解：時間由早到晚的順序為4312.
故選B.
【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.
9.如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體，它的左視圖為( )
A. B. C. D.
【考點】簡單組合體的三視圖.
【分析】細心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置，根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可.
【解答】解：從物體左面看，左邊2個正方形，右邊1個正方形.
故選：B.
【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體左面看所得到的圖形，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項.
10.將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣1)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x﹣4)2+6
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據函數圖象向上平移加，向右平移減，可得函數解析式.
【解答】解：將y=x2﹣2x+3化為頂點式，得y=(x﹣1)2+2.
將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為y=(x﹣4)2+4，
故選：B.
【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，函數圖象的平移規(guī)律是：左加右減，上加下減.
11.某校幵展“文明小衛(wèi)士”活動，從學生會“督查部”的3名學生(2男1女)中隨機選兩名進行督導，恰好選中兩名男學生的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好選中兩名男學生的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結果，恰好選中兩名男學生的有2種情況，
∴恰好選中兩名男學生的概率是： = .
故選A.
【點評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
12.如圖，點P是▱ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有( )
A.0對 B.1對 C.2對 D.3對
【考點】相似三角形的判定;平行四邊形的性質.
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3對相似三角形.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵.
13.在平面直角坐標系中，已知點A(﹣4，2)，B(﹣6，﹣4)，以原點O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是( )
A.(﹣2，1) B.(﹣8，4) C.(﹣2，1)或(2，﹣1) D.(﹣8，4)或(8，﹣4)
【考點】位似變換;坐標與圖形性質.
【分析】根據已知得出位似圖形對應坐標與位似圖形比的關系進而得出答案.
【解答】解：∵△ABC的一個頂點A的坐標是(﹣4，2)，以原點O為位似中心相似比為1：2將△ABC縮小得到它的位似圖形△A′B′C′，
∴點A′的坐標是：(﹣ ×4， ×2)，[﹣ ×(﹣4)，﹣ ×2]，
即(﹣2，1)，(2，﹣1).
故選：C.
【點評】此題主要考查了位似圖形的性質，根據如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k得出是解題關鍵.
14.在同一直角坐標系中，一次函數y=kx﹣k與反比例函數y= (k≠0)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數的圖象;一次函數的圖象.
【分析】由于本題不確定k的符號，所以應分k>0和k<0兩種情況分類討論，針對每種情況分別畫出相應的圖象，然后與各選擇比較，從而確定答案.
【解答】解：(1)當k>0時，一次函數y=kx﹣k 經過一、三、四象限，反比例函數經過一、三象限，如圖所示：
(2)當k<0時，一次函數y=kx﹣k經過一、二、四象限，反比例函數經過二、四象限.如圖所示：
故選：A.
【點評】本題考查了反比例函數、一次函數的圖象.靈活掌握反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質是解決問題的關鍵，在思想方法方面，本題考查了數形結合思想、分類討論思想.
15.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=1，則下列結論：
?、賏<0，b<0;②a+b+c>0;③a﹣b+c<0;④當x>1時，y隨x的增大而減小;
?、輇2﹣4ac>0;⑥4a+2b+c>0;⑦a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正確的結論有( )
A.4個 B.5個 C.6個 D.7個
【考點】二次函數圖象與系數的關系.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與x軸的交點得出b2﹣4ac的符號，然后根據拋物線與x軸交點的個數及x=1時二次函數的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.
【解答】解：①∵拋物線開口向下，∴a<0，
∵拋物線對稱軸為直線x=1，且a<0，
∴b>0，故此選項錯誤;
?、诋攛=1時，對應y的值大于0，即a+b+c>0，故此選項正確;
③當x=﹣1時，對應y的值小于0，即a﹣b+c<0，故此選項正確;
④當x>1時，y隨x的增大而減小，正確;
?、輬D象與x軸有兩個交點，故b2﹣4ac>0，正確;
⑥∵拋物線對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸左側交點大于﹣1，故拋物線與x軸右側交點大于2，
故當x=2時4a+2b+c>0，正確;
?、摺弋攛=1時，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)，(m為實數且m≠1)，故此選項正確;
故正確的有6個.
故選：C.
【點評】此題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與方程之間的轉換，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根據圖象判斷其值.
二、填空題(本題共8小題，滿分24分)
16.二次函數y=x2+2x的頂點坐標為 (﹣1，﹣1) .
【考點】二次函數的性質.
【分析】根據二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標公式進行計算即可.
【解答】解：∵a=1，b=2，c=0，
∴﹣ =﹣ =﹣1，
= =﹣1，
∴頂點坐標為(﹣1，﹣1)，
故答案為：(﹣1，﹣1).
【點評】此題主要考查了二次函數的性質，掌握二次函數一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標公式(﹣ ， ).
17.一個四邊形各邊的中點的連線組成的四邊形為菱形，則原四邊形的特點是 對角線相等 .
【考點】中點四邊形.
【分析】先證明EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出EH=FG=EF=HG，即可得出結論.
【解答】解：原四邊形的特點是對角線相等.理由如下：
如圖，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點.
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，
∴根據三角形的中位線的性質
∴EH=FG= BD，EF=HG= AC.
∵AC=BD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四邊形EFGH是菱形.
故答案為：對角線相等.
【點評】本題考查了中點四邊形、菱形的判定、三角形中位線定理.運用三角形中位線定理證得AC=BD是解決問題的關鍵.
18.關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數根，則k的取值范圍是 k≤ 且k≠0 .
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】本題是對根的判別式與一元二次方程的定義的考查，因為關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數根，所以△=b2﹣4ac≥0，列出不等式求解，然后還要考慮二次項系數不能為0.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實數根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即(﹣1)2﹣4×k×2≥0，
解這個不等式得：k≤ ，
又∵k是二次項系數，
∴k≠0，
則k的取值范圍是k≤ 且k≠0.
故答案為：k≤ 且k≠0.
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數)根的判別式.當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.以及一元二次方程的意義.
19.二次函數y=x2+bx﹣2(b為常數)的圖象與x軸有 2 個交點.
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】根據拋物線與x軸交點個數的性質得出△的符號，進而得出答案.
【解答】解：∵△=b2+8，
∴b2+8>0，
∴二次函數y=x2+bx﹣2(b為常數)的圖象與x軸相交，有2個交點，
故答案為：2.
【點評】此題主要考查了拋物線與x軸交點，正確利用△與交點個數的關系是解題關鍵.
20.如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為 14.1 cm(參考數據sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結果精確到0.1cm，可用科學計算器).
【考點】解直角三角形的應用.
【分析】作BE⊥CD于E，根據等腰三角形的性質和∠CBD=40°，求出∠CBE的度數，根據余弦的定義求出BE的長.
【解答】解：如圖2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE= ，
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm.
故答案為：14.1.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵，作出合適的輔助線構造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).
21.將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點A、點C恰好落在對角線BD上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長為 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【專題】壓軸題.
【分析】由四邊形BEDF是菱形，可得OB=OD= BD，由四邊形ABCD是矩形，可得∠C=90°，然后設CD=x，根據折疊的性質得：OD=OB=CD，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得答案.
【解答】解：∵四邊形BEDF是菱形，
∴OB=OD= BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
設CD=x，
根據折疊的性質得：OD=OB=CD，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
即62+x2=(2x)2，
解得：x=2 ，
∴AB=CD=2 .
故答案為：2 .
【點評】此題考查了矩形的性質、菱形的性質以及折疊的性質.此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用，注意折疊中的對應關系.
22.如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜坡BC的坡度i=1：5，則AC的長度是 210 cm.
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】首先過點B作BD⊥AC于D，根據題意即可求得AD與BD的長，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的長，繼而求得答案.
【解答】解：過點B作BD⊥AC于D，
根據題意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，
∴BD：CD=1：5，
∴CD=5BD=5×54=270(cm)，
∴AC=CD﹣AD=270﹣60=210(cm).
∴AC的長度是210cm.
故答案為：210.
【點評】此題考查了解直角三角形的應用：坡度問題.此題難度適中，注意掌握坡度的定義，注意數形結合思想的應用與輔助線的作法.
23.如圖，點A在雙曲線 上，點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為 2 .
【考點】反比例函數系數k的幾何意義.
【專題】壓軸題.
【分析】根據雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S=|k|即可判斷.
【解答】解：過A點作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點A在雙曲線 上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y= 上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3﹣1=2.
故答案為：2.
【點評】本題主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經?？疾榈囊粋€知識點;這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
三、解答題(共7小題，滿分51分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請在答題紙上作答)
24.計算：20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】利用零指數冪的性質以及特殊角的三角函數值和負整數指數冪的性質以及絕對值的性質化簡，進而求出答案.
【解答】解：20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
=1﹣3× +9﹣2+
=8.
【點評】此題主要考查了零指數冪以及特殊角的三角函數值和負整數指數冪以及絕對值的性質，正確化簡化簡各數是解題關鍵.
25.某超市計劃在“十周年”慶典開展購物抽獎活動，凡當天在該超市購物的顧客，均有一次抽獎的機會，抽獎規(guī)則如下：將如圖所示的圓形轉盤平均分成四個扇形，分別標上1，2，3，4四個數字，抽獎者連續(xù)轉動轉盤兩次，每次轉盤停止后指針所指扇形內的數為每次所得的數(若指針指在分界線時重轉);當兩次所得數字之和為8時，返現金20元;當兩次所得數字之和為8時，返現金15元;當兩次所得數字之和為6時返現金10元和小于6時不返現金.
(1)試用樹狀圖或列表的方法表示出一次抽獎所有可能出現的結果;
(2)某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現金的概率是多少?
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果;
(2)首先求得某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現金的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：(1)畫樹狀圖得：
則共有16種等可能的結果;
(2)∵某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現金的有6種情況，
∴某顧客參加一次抽獎，能獲得返還現金的概率是： = .
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
26.如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構成的∠BAD=60°.使用發(fā)現，光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm?(結果精確到0.1cm，參考數據： ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應用.
【分析】首先過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G，進而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案.
【解答】解：過點B作BF⊥CD于點F，作BG⊥AD于點G.
∴四邊形BFDG矩形，
∴BG=FD
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC•sin30°=20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB•sin60°=30× =15 .
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0(cm).
答：此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數關系是解題關鍵.
27.某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件.后來經過市場調查，發(fā)現這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.
(1)求商場經營該商品原來一天可獲利潤 2000 元.
(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.
?、偃羯虉鼋洜I該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價多少元?
?、谇蟪鰕與x之間的函數關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大?
【考點】二次函數的應用.
【分析】(1)原來一天可獲利潤=(原售價﹣原進價)×一天的銷售量;
(2)①根據等量關系：降價后的單件利潤×銷售量=總利潤，列方程解答;
?、诟鶕?ldquo;總利潤=降價后的單件利潤×銷售量”列出函數表達式，并運用二次函數性質解答.
【解答】解：(1)(100﹣80)×100=2000(元);
故答案為：2000.
(2)①依題意得：
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160
即x2﹣10x+16=0
解得：x1=2，x2=8
經檢驗：x1=2，x2=8都是方程的解，且符合題意.
答：商店經營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應降價2元或8元.
?、谝李}意得：y=(100﹣80﹣x)(100+10x)，
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250，
∵﹣10≤0，
∴當x=5時，商店所獲利潤最大.
【點評】本題考查了一元二次方程和二次函數的應用，解答第②小題的關鍵是將實際問題轉化為二次函數求解，注意配方法求二次函數最值的應用.
28.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N.
(1)求證：△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12，BM=5，求DE的長.
【考點】相似三角形的判定與性質;正方形的性質.
【分析】(1)由正方形的性質得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結論;
(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA;
(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM= =13，AD=12，
∵F是AM的中點，
∴AF= AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴ ，
即 ，
∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【點評】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理;熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.
29.如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y= 的圖象相交于A(2，3)，B(﹣3，n)兩點.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式;
(2)根據所給條件，請直接寫出不等式kx+b> 的解集;
(3)過點B作BC⊥x軸，垂足為C，求S△ABC.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)由一次函數y=kx+b與反比例函數y= 的圖象相交于A(2，3)，B(﹣3，n)兩點，首先求得反比例函數的解析式，則可求得B點的坐標，然后利用待定系數法即可求得一次函數的解析式;
(2)根據圖象，觀察即可求得答案;
(3)因為以BC為底，則BC邊上的高為3+2=5，所以利用三角形面積的求解方法即可求得答案.
【解答】解：(1)∵點A(2，3)在y= 的圖象上，
∴m=6，
∴反比例函數的解析式為：y= ，
∵B(﹣3，n)在反比例函數圖象上，
∴n= =﹣2，
∵A(2，3)，B(﹣3，﹣2)兩點在y=kx+b上，
∴ ，
解得： ，
∴一次函數的解析式為：y=x+1;
(2)﹣32;
(3)以BC為底，則BC邊上的高AE為3+2=5，
∴S△ABC= ×2×5=5.
【點評】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題.注意待定系數法的應用是解題的關鍵.
30. 如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為(﹣3，0).
(1)求點B的坐標.
(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點.
?、偃酎cP在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點P的坐標.
?、谠O點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值.
【考點】二次函數綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為(﹣3，0)，根據二次函數的對稱性，即可求得B點的坐標;
(2)①a=1時，先由對稱軸為直線x=﹣1，求出b的值，再將B(1，0)代入，求出二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，得到C點坐標，然后設P點坐標為(x，x2+2x﹣3)，根據S△POC=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標;
②先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，再設Q點坐標為(x，﹣x﹣3)，則D點坐標為(x，x2+2x﹣3)，然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值.
【解答】解：(1)∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關于直線x=﹣1對稱，
∵點A的坐標為(﹣3，0)，
∴點B的坐標為(1，0);
(2)①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，
∴ =﹣1，解得b=2.
將B(1，0)代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=﹣3.
則二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標為(0，﹣3)，OC=3.
設P點坐標為(x，x2+2x﹣3)，
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4.
當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21;
當x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.
∴點P的坐標為(4，21)或(﹣4，5);
?、谠O直線AC的解析式為y=kx+t (k≠0)將A(﹣3，0)，C(0，﹣3)代入，
得 ，解得 ，
即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3.
設Q點坐標為(x，﹣x﹣3)(﹣3≤x≤0)，則D點坐標為(x，x2+2x﹣3)，
QD=(﹣x﹣3)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ )2+ ，
∴當x=﹣ 時，QD有最大值 .
【點評】此題考查了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題.此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想.
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