九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末試卷題
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)可能對(duì)很多的同學(xué)會(huì)很難，但是大家不要害怕，今天小編就給大家來分享一下九年級(jí)數(shù)學(xué)，大家來多多參考哦
九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷閱讀
一、選擇題(本題共16分，每小題2分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)
1.已知∠A為銳角，且sin A= ，那么∠A等于
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A = ，則∠BOC的大小為
A.40° B.30° C.80° D.100°
3.已知△ ∽△ ，如果它們的相似比為2∶3，那么它們的面積比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，它的表達(dá)式可能是
A. B. C. D.
5.正方形ABCD內(nèi)接于 ，若 的半徑是 ，則正方形的邊長(zhǎng)是
A. B. C. D.
6.如圖，線段BD，CE相交于點(diǎn)A，DE∥BC.若BC 3，DE 1.5，AD 2，
則AB的長(zhǎng)為
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象
A.先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
B.先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
C.先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
D.先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度
8. 如圖，一條拋物線與x軸相交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，其頂點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2，-3)，(1，-3)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的最大值為4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最小值為
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空題(本題共16分，每小題2分)
9.二次函數(shù) 圖象的開口方向是__________.
10.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，則tanA的值為 .
11. 如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小穎用長(zhǎng)為2 的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn). 此時(shí)竹竿與這一點(diǎn)距離相距6 ，與樹相距15 ，那么這棵樹的高度為 .
12.已知一個(gè)扇形的半徑是1，圓心角是120°，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是 .
13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則sin∠BAC與sin∠DAE的大小關(guān)系是 .
14.寫出拋物線y=2(x-1)2圖象上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
可以是 和 .
15.如圖，為測(cè)量河內(nèi)小島B到河邊公路 的距離，在 上順次取A，C，D三點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD=60°，又測(cè)得AC=50米，則小島B到公路 的距離為 米.
16.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有三點(diǎn)：(0，-2)，(1，-1)，(2.17，0.37).則過這三個(gè)點(diǎn) (填“能”或“不能”)畫一個(gè)圓，理由是 .
三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17.已知： . 求： .
18.計(jì)算： .
19.已知二次函數(shù) y = x2-2x-3.
(1)將y = x2-2x-3化成y = a (x-h)2 + k的形式;
(2)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).
20.如圖，在△ABC中，∠B為銳角， AB ，BC 7， ，求AC的長(zhǎng).
21. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)E在AB上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5.
求證：∠DEC=90°.
22.下面是小東設(shè)計(jì)的“在三角形一邊上求作一個(gè)點(diǎn)，使這點(diǎn)和三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與原三角形相似”的尺規(guī)作圖過程.
已知: △ABC.
求作: 在BC邊上求作一點(diǎn)P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如圖，
?、僮骶€段AC的垂直平分線GH;
②作線段AB的垂直平分線EF,交GH于點(diǎn)O;
?、垡渣c(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作圓;
?、芤渣c(diǎn)C為圓心，CA為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)D(與點(diǎn)A不重合);
?、葸B接線段AD交BC于點(diǎn)P.
所以點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn).
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明: ∵CD=AC，
∴ = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依據(jù)).
23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2
與雙曲線 相交于點(diǎn)A(m，3).
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫出直線和雙曲線的示意圖;
(3)若P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，當(dāng)OA=PA時(shí).
直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
24. 如圖，AB是 的直徑，過點(diǎn)B作 的切線BM，點(diǎn)A，C，D分別為 的三等分點(diǎn)，連接AC，AD，DC，延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E， CD交AB于點(diǎn)F.
(1)求證： ;
(2) 連接OE，若DE=m，求△OBE的周長(zhǎng).
25. 在如圖所示的半圓中， P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)P，交半圓于點(diǎn)C，連接AC.已知AB=6cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，C兩點(diǎn)間的距離為y1cm，A，C兩點(diǎn)間的距離為y2cm.
小聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了y1，y2與x的幾組對(duì)應(yīng)值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)，
(x，y2)，并畫出函數(shù)y1，y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC有一個(gè)角是30°時(shí)，AP的長(zhǎng)度約為 cm.
26. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 (其中 、 為常數(shù)，且 <0)與x軸交于點(diǎn)A ，與y軸交于點(diǎn)B，此拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求 的正切值;
(3)如果點(diǎn) 是x軸上的一點(diǎn)，且 ，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
27. 在菱形ABCD中，∠ADC=60°，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在邊CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，連接AP，平移 ，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到 ，在BD上取一點(diǎn)H，使HQ=HD，連接HQ，AH，PH.
(1) 依題意補(bǔ)全圖1;
(2)判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系及∠AHP的度數(shù)，并加以證明;
(3)若 ，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路. (可以不寫出計(jì)算結(jié)果)
28. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(x，0)，B(x，y)，若線段AB上存在一點(diǎn)Q滿足 ，則稱點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”.
(1)若點(diǎn)A(1，0)，AB=3，點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”.
?、偾簏c(diǎn)Q的坐標(biāo);
?、谌酎c(diǎn)A關(guān)于直線y= x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，當(dāng)點(diǎn)B在第一象限時(shí)，求 ;
(2)⊙T的圓心T(0， t)，半徑為2，點(diǎn)Q在直線 上，⊙T上存在點(diǎn)B，使點(diǎn)Q 是線段AB 的“倍分點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題(本題共16分，每小題2分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空題(本題共16分，每小題2分)
9.下10. 11. 12. 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 16.能，因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上.
三、解答題(本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分)
17.解：∵ ，∴ = +1= .………………………5分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
19.解：(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2分
=(x-1)2-4.……………………3分
(2)∵y=(x-1)2-4，
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，-4).………………………5分
20.解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵ ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2分
∵AB ，
∴AD=BD=3.…………………………3分
∵BC 7，∴DC=4.
∴在Rt△ACD中，
.…………………………5分
21.(1)證明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
∵AD∥BC，∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴ .∴
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5分
22.(1)補(bǔ)全圖形如圖所示:………………2分
(2) ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.………………5分
23.解：(1)∵直線y=x+2與雙曲線 相交于點(diǎn)A(m，3).
∴3=m+2，解得m=1.
∴A(1，3)……………………………………1分
把A(1，3)代入 解得k=3，
……………………………………2分
(2)如圖……………………………………4分
(3)P(0，6)或P(2，0) ……………………………………6分
24.證明：(1)∵點(diǎn)A、C、D為 的三等分點(diǎn)，
∴ , ∴AD=DC=AC.
∵AB是 的直徑，
∴AB⊥CD.
∵過點(diǎn)B作 的切線BM，
∴BE⊥AB.
∴ .…………………………3分
(2) 連接DB.
?由雙垂直圖形容易得出∠DBE=30°，在Rt△DBE中，由DE=m，解得BE=2m，DB= m.
?在Rt△ADB中利用30°角，解得AB=2 m，OB= m.…………………4分
?在Rt△OBE中，由勾股定理得出OE= m.………………………………5分
?、苡?jì)算出△OBE周長(zhǎng)為2m+ m+ m.………………………………6分
25.(1)3.00…………………………………1分
(2)…………………………………………4分
(3)1.50或4.50……………………………2分
26.解：(1)由題意得，拋物線 的對(duì)稱軸是直線 .………1分
∵a<0，拋物線開口向下，又與 軸有交點(diǎn)，∴拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方.
由于拋物線頂點(diǎn)C到x軸的距離為4，因此頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .
可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是 ，
由于此拋物線與 軸的交點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，可得 .
因此，拋物線的表達(dá)式是 .………………………2分
(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)是 .
聯(lián)結(jié) .∵ ， ， ，得 .
∴△ 為直角三角形， .
所以 .
即 的正切值等于 .………………4分
(3)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(1，0).………………6分
27.(1)補(bǔ)全圖形，如圖所示.………………2分
(2)AH與PH的數(shù)量關(guān)系：AH=PH，∠AHP=120°.
證明：如圖，由平移可知，PQ=DC.
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5分
(3)求解思路如下：
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.
b.在△AHP中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.
c.在△ADB中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.
由a、b、c可得∠DAP=21°.
在△DAP中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
從而求得DP長(zhǎng).…………………………………7分
28.解：(1)∵A(1，0)，AB=3
∴B(1，3)或B(1，-3)
∵
∴Q(1，1)或Q(1，-1)………………3分
(2)點(diǎn)A(1，0)關(guān)于直線y= x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(0，1)
∴QA =QA′
∴ ………………5分
(3)-4≤t≤4………………7分
初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷帶答案
一、選擇題(本題共16分，每小題2分)
1.拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
A. B. C. D.
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ， 與 軸正半軸的夾角為 ，則 的值為
A. B.
C. D.
3.方程 的根的情況是
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.無實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
4.如圖，一塊含30°角的直角三角板 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ ，當(dāng) ， ， 在一條直線上時(shí)，三角板 的旋轉(zhuǎn)角度為
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，B是反比例函數(shù) 的圖象上的一點(diǎn)，則矩形OABC的面積為
6.如圖，在 中， ，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，
若 ，則△ 和△ 的面積之比等于
A. B. C. D.
7.圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2，它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣 54cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角 30°.當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為
8.在平面直角坐標(biāo)系 中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的是
二、填空題(本題共16分，每小題2分)
9.方程 的根為.
10.半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為.
11.已知拋物線的對(duì)稱軸是 ，若該拋物線與 軸交于 ， 兩點(diǎn)，則 的值為.
12.在同一平面直角坐標(biāo)系 中，若函數(shù) 與 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則 的取值范圍是.
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，有兩點(diǎn) ， ，以原點(diǎn) 為位似中心，把△ 縮小得到△ .若 的坐
標(biāo)為 ，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為.
14.已知 ， 是反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，且 ，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的反比例函數(shù)的解析式.
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ，判斷在 四點(diǎn)中，滿足到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離都小于2的點(diǎn)是 .
16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中， 是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，⊙ 的半徑為1，直線 切⊙ 于點(diǎn) ，則線段 的最小值為 .
三、解答題(本題共68分，第17~22題，每小題5分;第23~26題，每小題6分;第27~28題，每小題7分)
17.計(jì)算： .
18.如圖， 與 交于 點(diǎn)， ， ， ， ，求 的長(zhǎng).
19.已知 是關(guān)于 的一元二次方程 的一個(gè)根，若 ，求 的值.
20.近視鏡鏡片的焦距 (單位：米)是鏡片的度數(shù) (單位：度)的函數(shù)，下表記錄了一組數(shù)據(jù)：
(單位：度)
… 100 250 400 500 …
(單位：米)
… 1.00 0.40 0.25 0.20 …
(1)在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是_________;
A. B.
C. D.
(2)利用(1)中的結(jié)論計(jì)算：當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí)，鏡片的焦距約為________米.
21.下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.
已知：如圖，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P.
求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線.
作法：如圖，
?、?作射線OP;
?、谠谥本€OP外任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B;
?、圻B接并延長(zhǎng)BA與⊙A交于點(diǎn)C;
④作直線PC;
則直線PC即為所求.
根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明：
證明：∵ BC是⊙A的直徑，
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據(jù)).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線(____________)(填推理的依據(jù)).
22.2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙?cè)诹尕暄笊系囊坏漓n麗的風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島，來銜接橋梁和海底隧道，西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的B點(diǎn)間的距離約為5.6千米，點(diǎn)C是與西人工島相連的大橋上的一點(diǎn)，A，B，C在一條直線上.如圖，一艘觀光船沿與大橋 段垂直的方向航行，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)觀測(cè)兩個(gè)人工島，分別測(cè)得 與觀光船航向 的夾角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離 的長(zhǎng).
參考數(shù)據(jù)： ° ， ° ， ° ，
23.在平面直角坐標(biāo)系 中，已知直線 與雙曲線 的一個(gè)交點(diǎn)是 .
(1)求 的值;
(2)設(shè)點(diǎn) 是雙曲線 上不同于 的一點(diǎn)，直線 與 軸交于點(diǎn) .
①若 ，求 的值;
?、谌?，結(jié)合圖象，直接寫出 的值.
24.如圖，A，B，C為⊙O上的定點(diǎn).連接AB，AC，M為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CM，將射線MC繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD.若AB=6cm，AC=2cm，記A，M兩點(diǎn)間距離為 cm， 兩點(diǎn)間的距離為 cm.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù) 隨自變量 的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小東探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，得到了 與 的幾組值，如下表：
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0
(2)在平面直角坐標(biāo)系 中，描出補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)BD=AC時(shí)，AM的長(zhǎng)度約為cm.
25.如圖，AB是⊙O的弦，半徑 ，P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CE 與AB交于點(diǎn)F.
(1)求證：PC=PF;
(2)連接OB，BC，若 ， ， ，求FB的長(zhǎng).
26.在平面直角坐標(biāo)系 中，已知拋物線G： ， .
(1)當(dāng) 時(shí)，
?、偾髵佄锞€G與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
?、谌魭佄锞€G與線段 只有一個(gè)交點(diǎn)，求 的取值范圍;
(2)若存在實(shí)數(shù) ，使得拋物線G與線段 有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫出 的取值范圍.
27.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直線l經(jīng)過點(diǎn)A(不經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C)，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD.
(1)如圖1，
?、偾笞C：點(diǎn) 在以點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓上.
?、谥苯訉懗?ang;BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為___________.
(2)如圖2，當(dāng)α=60°時(shí)，過點(diǎn)D作BD的垂線與直線l交于點(diǎn)E，求證：AE=BD;
(3)如圖3，當(dāng)α=90°時(shí)，記直線l與CD的交點(diǎn)為F，連接 .將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，直接寫出 的值.
28.在平面直角坐標(biāo)系 中，已知點(diǎn) 和點(diǎn) ，給出如下定義：以 為邊，按照逆時(shí)針方向排列A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)，作正方形 ，則稱正方形 為點(diǎn) ， 的逆序正方形.例如，當(dāng) ， 時(shí)，點(diǎn) ， 的逆序正方形如圖1所示.
(1)圖1中點(diǎn) 的坐標(biāo)為;
(2)改變圖1中的點(diǎn)A的位置，其余條件不變，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不變(填“橫”或“縱”)，它的值為;
(3)已知正方形ABCD為點(diǎn) ， 的逆序正方形.
①判斷：結(jié)論“點(diǎn) 落在 軸上，則點(diǎn) 落在第一象限內(nèi).”______(填“正確”或“錯(cuò)誤”)，若結(jié)論正確，請(qǐng)說明理由;若結(jié)論錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出一個(gè)反例;
②⊙ 的圓心為 ，半徑為1.若 ， ，且點(diǎn) 恰好落在⊙ 上，直接寫出 的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考
一、選擇題(本題共16分，每小題2分)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A B B C A
第8題：二次函數(shù)a的絕對(duì)值的大小決定圖像開口的大小 ，︱a︳越大，開口越小，顯然a1
二、填空題(本題共16分，每小題2分)
9. ， 10. 11. 2 12. 13.
14.答案不唯一，如： 15. 16.
第16題：OQ2=OP2-1,OP最小時(shí)，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin=
三、解答題(本題共68分，第17~22題，每小題5分;第23~26題，每小題6分;第27~28題，每小題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程.
17.(本小題滿分5分)
解：原式= ………………………………………………………………3分
= .…………………………………………………………………………5分
18.(本小題滿分5分)
19.(本小題滿分5分)
解：依題意，得 .…………………………………………………… 3分
∴ .∴ .……………………………………… 5分
20.(本小題滿分5分)
解：(1)B.……………………………………………………………………………… 3分
(2) .………………………………………………………………………… 5分
21.(本小題滿分5分)
(1)補(bǔ)全的圖形如圖所示：
………………………………………3分
(2)直徑所對(duì)的圓周角是直角;……………………………………………………… 4分
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.…………………… 5分
22.(本小題滿分5分)
解：在 中，
答：此時(shí)觀光船到大橋 段的距離 的長(zhǎng)為 千米.
23.(本小題滿分6分)
解：(1)∵直線 經(jīng)過點(diǎn) ，
∴ .……………………………………………………………………… 1分
∴
又∵雙曲線 經(jīng)過點(diǎn) ，
∴ .……………………………………………………………………… 2分
(2)①當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .
∴直線 的解析式為 .………………..………………………. 3分
∵直線 與 軸交于點(diǎn) ，
∴ .……………………………………………………...4分
?、?或 .………………………………………………………………… 6分
24.(本小題滿分6分)
解：本題答案不唯一，如：
(1)
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76
1.66 0
…………………………………………………………………………………………… 1分
(2)
…………………………………………………………………………………………… 4分
(3) 或 .……………………………………………………………... 6分
說明：允許(1)的數(shù)值誤差范圍 ;(3)的數(shù)值誤差范圍
25.(本小題滿分6分)
(1)證明：如圖，連接 .
∵ 與⊙ 相切于點(diǎn) ，
∴ °.……………… 1分
(2)方法一：
解：如圖，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) .
在 中， ，
可得 ° ， ° .…………...… 4分
在 中， ，
可得 .…………………………………………………….. 5分
∴ .…………………………………………6分
方法二：
解：如圖，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) .
方法三：
解：如圖，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，連接 .
∵ ， ，
∴ .
∴ °.…………………………… 4分
在 中， ，
設(shè) ，則 ， .
方法四：解：如圖，延長(zhǎng)CO交AP于點(diǎn)M.
在 中， ， ，
可得 .…………………………4分
在 中， ，
可得 ， . ………………………………………..5分
∴ .
在 中， ，
可得 ， .
∴ ， .
∴ .…………………………………………………… 6分
26.(本小題滿分6分)
解：(1)①當(dāng) 時(shí)， .…………………… 1分
當(dāng) 時(shí)， ，
解得 ， .
∴拋物線 與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ， .
…………………………………………………………………2分
②當(dāng) 時(shí)，拋物線 與線段 有一個(gè)交點(diǎn).
當(dāng) 時(shí)，拋物線 與線段 有兩個(gè)交點(diǎn).
結(jié)合圖象可得 .……………………… 4分
(2) 或 .……………………………………………………………… 6分
(2)解析：
y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4,
∴頂點(diǎn)(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1
若拋物線與x軸交于E、F兩點(diǎn)，則EF= ∣x1- x2∣=2
AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣
AN≥EF時(shí)，線段AN與拋物線G有兩個(gè)交點(diǎn)，即n≤-3或 n≥1。
27.(本小題滿分7分)
(1)①證明：連接 ，如圖1.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ . ……………………… 1分
∵ ，
∴ .
∴點(diǎn) 在以 為圓心， 為半徑的圓上.………………… 2分
?、?. ……………………………………………………………………………3分
(2)證法一：
證明：連接 ，如圖2.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ .
∴ 是等邊三角形.
…………………………………………………………………………………………… 4分
∴ ， °.
∵ ， °，
∴ 是等邊三角形.
∴ .……………………………………………………………… 5分
證法二：
證明：連接 ，如圖2.
∵點(diǎn) 與點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴ 是等邊三角形.
∴ .
∴ ≌ ………………………………………………………4分
∴ .……………………………………………………………… 6分
(3) .………………………………………………………………………………… 7分
(3)解析：
方法一：O是AC中點(diǎn)，BO+OF≥BF,設(shè)BC=4，BO=√10,OF=√2，即BFmax=√10+√2，
此時(shí)tan∠FBC=1/3。
方法二：以AC為直徑作圓O，∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上，又，圓外一點(diǎn)到圓上最長(zhǎng)距
離經(jīng)過圓心，∴B、O、F三點(diǎn)共線時(shí)BF最長(zhǎng)。計(jì)算如上。
28.(本小題滿分7分)
解：(1)圖1中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .…………………………………………… 1分
(2)改變圖1中的點(diǎn) 的位置，其余條件不變，則點(diǎn) 的縱坐標(biāo)不變，
它的值為3.………………………………………………………………3分
(3)①判斷：結(jié)論“點(diǎn) 落在 軸上，則點(diǎn) 落在第一象限內(nèi).”錯(cuò)誤.
反例如圖所示：
…………………………………………………………………………………………… 5分
?、?.…………………………………………………………… 7
方法一：
可證:C點(diǎn)坐標(biāo)(b+a,b)A、B、C三點(diǎn)共圓，圓心為AC中點(diǎn)Q點(diǎn)，若C點(diǎn)落在⊙T上，又b>0,則⊙T所在極限位置為⊙T1與⊙T2(⊙T2與直線相切)所在位置。
T1(3，0)
a=4時(shí)，C(4+b,b)，
△ABB1≌△B1HC1
C1H=B1B=b
CH=BH-BC=b
∴C1H= CH
設(shè)C點(diǎn)所在直線y=mx+n
∴m=1
過點(diǎn)C(4+b,b)
∴y=x-4
⊙T2與直線相切
∴CT2=√2
∴T2(4+√2，0)
∵b>0 ∴
初三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷
一、選擇題(本題共 16 分，每小題 2 分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只.有.一個(gè)
1.已知∠A 為銳角，且 sin A=
2 ，那么∠A 等于
A.15° B.30° C.45° D.60° 2.如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，∠A = 50?，則∠BOC 的大小為
A.40° B.30° C.80° D.100° 3.已知△ ABC ∽△ A'B'C'，如果它們的相似比為 2∶3，那么它們的面積比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，它的表達(dá)式可能是
5.正方形 ABCD 內(nèi)接于 O ，若 O 的半徑是 2 ，則正方形的邊長(zhǎng)是
A.1 B. 2 C. 2 D. 2 2
6.如圖，線段 BD，CE 相交于點(diǎn) A，DE∥BC.若 BC ?3，DE ?1.5，AD ?2，
則 AB 的長(zhǎng)為
A.2 B.3 C.4 D.5
第 6 題圖 第 8 題圖
第 2 題圖 第 4 題圖 第5題圖
第 2 頁(yè) 共 12 頁(yè)
7.若要得到函數(shù) ? ?
2
y ? x ?1 +2 的圖象，只需將函數(shù)
2
y ? x 的圖象
A.先向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.先向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.先向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.先向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度
8. 如圖，一條拋物線與 x 軸相交于 M，N 兩點(diǎn)(點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的左側(cè))，其頂點(diǎn) P 在線段 AB 上移動(dòng)，點(diǎn) A，B 的坐
標(biāo)分別為(-2，-3)，(1，-3)，點(diǎn) N 的橫坐標(biāo)的最大值為 4，則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)的最小值為
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空題(本題共 16 分，每小題 2 分)
9.二次函數(shù)
2
y ?-2x ? 4x ?1圖象的開口方向是__________.
10.Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，則 tanA 的值為 .
11. 如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小穎用長(zhǎng)為 2m 的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落
在地面的同一點(diǎn). 此時(shí)竹竿與這一點(diǎn)距離相距 6m ，與樹相距 15 m ，那么這棵樹的高度為 .
12.已知一個(gè)扇形的半徑是 1，圓心角是 120°，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是 . 13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則 sin∠BAC 與 sin∠DAE 的大小關(guān)系
是 . 14.寫出拋物線 y=2(x-1)
2圖象上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，這對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
可以是 和 . 15.如圖，為測(cè)量河內(nèi)小島 B 到河邊公路l 的距離，在l 上順次取 A，C，D 三點(diǎn)，在 A 點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°，在 C 點(diǎn)測(cè)
得∠BCD=60°，又測(cè)得 AC=50 米，則小島 B 到公路l 的距離為 米.
16.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)有三點(diǎn)：(0，-2)，(1，-1)，(2.17，0.37).則過這三個(gè)點(diǎn) (填“能”或“不能”)
畫一個(gè)圓，理由是 . 三、解答題(本題共 68 分，第 17-22 題，每小題 5 分，第 23-26 題，每小題 6 分，第 27，28 題，每小題 7 分)解答應(yīng)
寫出文字說明、演算步驟或證明過程. 17.已知：
. 18.計(jì)算： 2cos30?-4sin 45?+ 8 .
11 題圖 13 題圖
第 3 頁(yè) 共 12 頁(yè)
19.已知二次函數(shù) y = x
2-2x-3. (1)將 y = x
2-2x-3 化成 y = a (x-h)
2 + k 的形式;
(2)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).
20.如圖，在△ABC 中，∠B 為銳角， AB ? 3 2 ，BC ?7，sin
2
2
B ? ，求 AC 的長(zhǎng).
21. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn) E 在 AB 上，AD=1，AE=2，
BC=3，BE=1.5. 求證：∠DEC=90°.
22.下面是小東設(shè)計(jì)的“在三角形一邊上求作一個(gè)點(diǎn)，使這點(diǎn)和三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)
成的三角形與原三角形相似”的尺規(guī)作圖過程. 已知: △ABC. 求作: 在 BC 邊上求作一點(diǎn) P, 使得△PAC∽△ABC. 作法:如圖，
①作線段 AC 的垂直平分線 GH;
?、谧骶€段 AB 的垂直平分線 EF,交 GH 于點(diǎn) O;
?、垡渣c(diǎn) O 為圓心，以 OA 為半徑作圓;
④以點(diǎn) C 為圓心，CA 為半徑畫弧，交⊙O 于點(diǎn) D(與點(diǎn) A 不重合);
?、葸B接線段 AD 交 BC 于點(diǎn) P. 所以點(diǎn) P 就是所求作的點(diǎn).
第 4 頁(yè) 共 12 頁(yè)
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明. 證明: ∵CD=AC，
∴CD = . ∴∠ =∠ . 又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依據(jù)). 23.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 y=x+2
與雙曲線
k
y
x ? 相交于點(diǎn) A(m，3). (1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)畫出直線和雙曲線的示意圖;
(3)若 P 是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，當(dāng) OA=PA 時(shí). 直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo).
24. 如圖，AB 是 O 的直徑，過點(diǎn) B 作 O 的切線 BM，點(diǎn) A，C，D 分別為 O 的三等分點(diǎn)，連接 AC，AD，DC，
延長(zhǎng) AD 交 BM 于點(diǎn) E， CD 交 AB 于點(diǎn) F. (1)求證：CD / /BM ;
(2) 連接 OE，若 DE=m，求△OBE 的周長(zhǎng).
第 5 頁(yè) 共 12 頁(yè)
25. 在如圖所示的半圓中，P 是直徑 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PC⊥AB 于點(diǎn) P，交半圓于點(diǎn) C，連接 AC.已知 AB=6cm，
設(shè) A，P 兩點(diǎn)間的距離為 xcm，P，C 兩點(diǎn)間的距離為 y1cm，A，C 兩點(diǎn)間的距離為 y2cm. 小聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù) y1，y2隨自變量 x 的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究. 下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量 x 的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了 y1，y2與 x 的幾組對(duì)應(yīng)值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y1)，
(x，y2)，并畫出函數(shù) y1，y2的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△APC 有一個(gè)角是 30°時(shí)，AP 的長(zhǎng)度約為 cm.
第 6 頁(yè) 共 12 頁(yè)
26. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 2 y ? ax ? 2ax ? c(其中 a 、c 為常數(shù)，且 a <0)與 x 軸交于點(diǎn) A ??3,0?，與
y 軸交于點(diǎn) B，此拋物線頂點(diǎn) C 到 x 軸的距離為 4.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)求 ?CAB 的正切值;
(3)如果點(diǎn) P 是 x 軸上的一點(diǎn)，且 ?ABP ? ?CAO ，直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo).
第 7 頁(yè) 共 12 頁(yè)
27. 在菱形 ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一條對(duì)角線，點(diǎn) P 在邊 CD 上(與點(diǎn) C，D 不重合)，連接 AP，平移 ?ADP ，
使點(diǎn) D 移動(dòng)到點(diǎn) C，得到 ?BCQ ，在 BD 上取一點(diǎn) H，使 HQ=HD，連接 HQ，AH，PH. (1) 依題意補(bǔ)全圖 1;
(2)判斷 AH 與 PH 的數(shù)量關(guān)系及∠AHP 的度數(shù)，并加以證明;
(3)若 ?AHQ ?141? ，菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，請(qǐng)寫出求 DP 長(zhǎng)的思路. (可.以.不.寫.出.計(jì).算.結(jié).果.)
圖 1 備用圖
第 8 頁(yè) 共 12 頁(yè)
28. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A(x，0)，B(x，y)，若線段 AB 上存在一點(diǎn) Q 滿足
? ，則稱點(diǎn) Q 是線段
AB 的“倍分點(diǎn)”.
(1)若點(diǎn) A(1，0)，AB=3，點(diǎn) Q 是線段 AB 的“倍分點(diǎn)”.
?、偾簏c(diǎn) Q 的坐標(biāo);
②若點(diǎn) A 關(guān)于直線 y= x 的對(duì)稱點(diǎn)為 A′，當(dāng)點(diǎn) B 在第一象限時(shí)，求 QA' QB
;
(2)⊙T 的圓心 T(0， t)，半徑為 2，點(diǎn) Q 在直線
3
3
y ? x 上，⊙T 上存在點(diǎn) B，使點(diǎn) Q 是線段 AB 的“倍分點(diǎn)”，
直接寫出 t 的取值范圍.
數(shù)學(xué)試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題(本題共 16 分，每小題 2 分)
下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只.有.一個(gè)
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空題(本題共 16 分，每小題 2 分)
9.下 10. 3
4
11. 7m 12. 3
2?
13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能，因?yàn)檫@三點(diǎn)不在一條直線上. 三、解答題(本題共 68 分，第 17-22 題，每小題 5 分，第 23-26 題，每小題 6 分，第 27，28 題，每小題 7 分)
17.解：∵
18.解：原式 ? ? ………………………3 分 = 3-2 2+2 2 ………………………4 分 = 3 ………………………5 分
19.解：(1)y=x
2-2x-3 =x
2-2x+1-1-3……………………………2 分
=(x-1)
2-4.……………………3 分
(2)∵y=(x-1)
2-4，
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，-4).………………………5 分
20.解：作 AD⊥BC 于點(diǎn) D，∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵sin
2
2
B ? ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分
∵AB ? 3 2 ，
∴AD=BD=3.…………………………3 分
∵BC ?7，∴DC=4. ∴在 Rt△ACD 中，
2 2 AC ? AD ? DC ? 5.…………………………5 分
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21.(1)證明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
∵AD∥BC，∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2 分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴
1 2
1.5 3 ? .∴
AD AE
BE BC
?
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3 分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5 分
22.(1)補(bǔ)全圖形如圖所示:………………2 分
(2) AC ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.………………5 分
23.解：(1)∵直線 y=x+2 與雙曲線
k
y
x ? 相交于點(diǎn) A(m，3)
∴3=m+2，解得 m=1. ∴A(1，3)……………………………………1 分
把 A(1，3)代入
k
y
x ? 解得 k=3， ? 3
y
x ? ……………………………………2 分
(2)如圖……………………………………4 分
(3)P(0，6)或 P(2，0) ……………………………………6 分
24.證明：(1)∵點(diǎn) A、C、D 為 O 的三等分點(diǎn)， ∴ AD ? DC ? AC , ∴AD=DC=AC. ∵AB 是 O 的直徑， ∴AB⊥CD. ∵過點(diǎn) B 作 O 的切線 BM， ∴BE⊥AB. ∴CD / /BM .…………………………3 分
(2) 連接 DB. ?由雙垂直圖形容易得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= 3 m. ?在 Rt△ADB 中利用 30°角，解得 AB=2 3 m，OB= 3 m.…………………4 分
?在 Rt△OBE 中，由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分
?、苡?jì)算出△OBE 周長(zhǎng)為 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分
25.(1)3.00…………………………………1 分
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(2)…………………………………………4 分
(3)1.50 或 4.50……………………………2 分
26.解：(1)由題意得，拋物線 2 y ? ax ? 2ax ? c 的對(duì)稱軸是直線
∵a<0，拋物線開口向下，又與 x 軸有交點(diǎn)，∴拋物線的頂點(diǎn) C 在 x 軸的上方. 由于拋物線頂點(diǎn) C 到 x 軸的距離為 4，因此頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)是??1,4? . 可設(shè)此拋物線的表達(dá)式是 ? ?
2 y ? a x ?1 ? 4，
由于此拋物線與 x 軸的交點(diǎn) A 的坐標(biāo)是??3,0? ，可得 a ? ?1. 因此，拋物線的表達(dá)式是 2 y ? ?x ? 2x ? 3.………………………2 分
(2)點(diǎn) B 的坐標(biāo)是?0,3? . 聯(lián)結(jié) BC .∵ 2 AB ?18 ， 2 BC ? 2 ， 2 AC ? 20 ，得 2 2 2 AB ? BC ? AC . ∴△ ABC 為直角三角形， ?ABC ? 90
AB
? ? ? . 即?CAB 的正切值等于
1
3
.………………4 分
(3)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是(1，0).………………6 分
27.(1)補(bǔ)全圖形，如圖所示.………………2 分
(2)AH 與 PH 的數(shù)量關(guān)系：AH=PH，∠AHP=120°. 證明：如圖，由平移可知，PQ=DC. ∵四邊形 ABCD 是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ. ∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°. ∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP. ∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5 分
(3)求解思路如下：
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由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°. a.在△ABH 中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°. b.在△AHP 中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°. c.在△ADB 中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°. 由 a、b、c 可得∠DAP=21°. 在△DAP 中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
從而求得 DP 長(zhǎng).…………………………………7 分
28.解：(1)∵A(1，0)，AB=3
∴B(1，3)或 B(1，-3)
∵
1
2
QA
QB
? ∴Q(1，1)或 Q(1，-1)………………3 分
(2)點(diǎn) A(1，0)關(guān)于直線 y= x 的對(duì)稱點(diǎn)為 A′(0，1)
∴QA =QA′
∴ QB
QA? 2
1 ?
………………5 分
(3)-4≤t≤4………………7 分
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