數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)作為微積分知識(shí)的一個(gè)重要組成部分，在人們的生活中占據(jù)著舉足輕重的地位。接下來(lái)學(xué)習(xí)啦小編為你整理了數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，一起來(lái)看看吧。
數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用篇一
【摘 要】導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的形態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，學(xué)好其他學(xué)科并發(fā)展學(xué)生的思維能力。因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過(guò)程中，可以利用導(dǎo)數(shù)思想解決諸如函數(shù)(解析式、值域、最(極)值、單調(diào)區(qū)間等)問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題以及實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);新課程;應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特殊的地位，是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，是聯(lián)系多個(gè)章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問(wèn)題的重要工具。
一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課程中的地位
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成的。必修課程是整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，選修課程是在完成必修課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生根據(jù)自己的興趣和需求選修。選修課程由系列1、系列2、系列3、系列4等組成。在系列1和系列2中都選擇了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。顯然，導(dǎo)數(shù)的重要性不言而喻。
二、導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容，有廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線(xiàn)、不等式、數(shù)列、實(shí)際等問(wèn)題帶來(lái)了新思路、新方法，使它成為新教材高考試題的熱點(diǎn)和命題新的增長(zhǎng)點(diǎn)。
(一)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題
利用導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域，求函數(shù)的最(極)值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
例1 設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)，且曲線(xiàn)在P點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，確定函數(shù)的解析式。
解 因?yàn)楹瘮?shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，d)，又曲線(xiàn)在P點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y=12x-4，P點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，從而d=-4，又切線(xiàn)斜率k=12，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，從而c=12，又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函數(shù)解析式為y=2x3+9x2+12x-4。
例2 求函數(shù)f(x)= - 的值域。
解：f(x)定義域?yàn)閇-1/2，+∞)，由于f′(x)= - = ，又2 - = ，可見(jiàn)當(dāng)x>-1/2時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)= - 在[-1/2，+∞)上是增函數(shù)。而f(-1/2)=- /2，所以函數(shù)f(x)= - 的值域是[- /2，+∞)。
例3 求函數(shù)f(x)=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。
解 由于f′(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)，則當(dāng)x∈[-3，-1)或x∈(1，3/2]時(shí)，f′(x)>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;當(dāng)x∈(-1，1)時(shí)，f′(x)<0，所以[-1，1]為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間。又因?yàn)閒(-3)=-18，f(-1)=2，f(1)=-2，f(3/2)=-9/8，所以，當(dāng)x=-3時(shí)，f(x)取得最小值-18;當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得最大值2。
例4 求f(x)=x3+3/x的單調(diào)區(qū)間。
解：f(x)定義域?yàn)?-∞，0)∪(0，+∞)，又f′(x)=3x2-3/x2= ，由f′(x)>0，得x<-1或x>1;又由f′(x)<0，得-1 (二)利用導(dǎo)數(shù)解決切線(xiàn)問(wèn)題
例5 已知拋物線(xiàn)C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直線(xiàn)l同時(shí)是C1和C2的切線(xiàn)，稱(chēng)I是C1和C2的公切線(xiàn)，求公切線(xiàn)l的方程。
解 由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲線(xiàn)C1在點(diǎn)P(x1，x12+2x1)的切線(xiàn)方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x12。 (1)
由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲線(xiàn)C2在點(diǎn)Q(x2，-x22+a)的切線(xiàn)方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2)，即y=-2x2x+x22+a。 (2)
若l是過(guò)P與Q的公切線(xiàn)，則(1)(2)表示的是同一直線(xiàn)，所以2x1+2=-2x2，-x12=x22+a。 消去x2，得2x12+2x1+1+a=0，由題意知△=4-4×2(1+a)=0，所以a=-1/2，則x1=x2=-1/2，即點(diǎn)P與Q重合，此時(shí)曲線(xiàn)C1和C2有且僅有一條公切線(xiàn)，且公切線(xiàn)方程為x-y+14=0。
(三)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題
例6 求證：不等式x- 證明 構(gòu)造函數(shù)f1(x)=ln(1+x)-(x- )，則f1′(x)= -1+x= >0。
得知y=f1(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤>0，所以f1(x)>f1(0)=0，即ln(1+x)>x- 成立。又構(gòu)造函數(shù)f2(x)=x- -ln(1+x)，則f2′=1- - = >0。y=f2(x).在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又x>0，則f2(x)>f2(0)=0，即x- >ln(1+x)成立.綜上，原命題成立。
(四)利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題
例7 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1(其中x≠0，x≠1)。
解 注意到nxn-1是xn的導(dǎo)數(shù)，即(xn)′=nxn-1，可先求數(shù)列{xn}的前n和x+x2+…xn= = ，然后等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，有1+2x+3x2+…nxn-1= = 。
三、結(jié)束語(yǔ)
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是微積分學(xué)的重要組成部分，是解決許多問(wèn)題的有力工具，它全面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值：既給學(xué)生提供了一種新的方法，又給學(xué)生提供了一種重要的思想。總之，開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)不僅促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的價(jià)值，而且發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)。
【參考文獻(xiàn)】
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)).第三版.北京：高等教育出版社，2001.91
數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用篇二
摘 要 導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，并且已由解決問(wèn)題的輔助工具上升為解決問(wèn)題必不可少的工具。導(dǎo)數(shù)題目注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交互滲透，在知識(shí)的交互點(diǎn)上設(shè)計(jì)試題，所以解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題需要一定的策略。
關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù);思想
一、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用
解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往需要按某一標(biāo)準(zhǔn)把問(wèn)題分成若干部分或情況，分別加以研究逐一解之，從而得到清楚完整的結(jié)果，分類(lèi)要注意分類(lèi)要科學(xué)，既不重復(fù)，又不遺漏。導(dǎo)數(shù)中需要分類(lèi)情況很多：如對(duì)參數(shù)討論、對(duì)根的大小關(guān)系討論、對(duì)極值點(diǎn)與區(qū)間的位置討論等等。
例1.已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a>0)，求函數(shù)在[1，2]上的最大值。
分析：通過(guò)求導(dǎo)先判斷單調(diào)性再求最值。在求最值時(shí)，對(duì)a的情況要進(jìn)行討論。
解：f(x)=x2e-ax(a>0)，
∴f′(x)=2xe-ax+x2・(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)。
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應(yīng)判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般情況下是先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，分清單調(diào)區(qū)間與已知區(qū)間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)上就是對(duì)極值點(diǎn)與區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行討論分別求解。
二、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖象結(jié)合起來(lái)，即在代數(shù)與幾何的結(jié)合上尋找解題思路。最常用的是以形助數(shù)的解題方法，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)圖形性質(zhì)的研究，使要解決的數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的討論，實(shí)現(xiàn)“由一種代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為幾何形式”的數(shù)學(xué)化歸。導(dǎo)數(shù)中研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及恒成立等問(wèn)題都需要利用數(shù)形結(jié)合直觀(guān)的求解。
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線(xiàn)方程、定積分求曲線(xiàn)圍成圖形面積的計(jì)算等，解決本題的關(guān)鍵之一是正確畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，題目有一定的難度。
三、轉(zhuǎn)化化歸思想
點(diǎn)評(píng)：以上兩種解法，法1是從集合關(guān)系入手，而法2則轉(zhuǎn)化為一個(gè)恒成立問(wèn)題，各有優(yōu)點(diǎn)。
數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用篇三
摘 要：高等數(shù)學(xué)是一門(mén)方法學(xué)科，因此可以說(shuō)是許多專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)。然而導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)在高等數(shù)學(xué)中是尤為重要的，在高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，它起著承前啟后的作用，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)非常重要的任務(wù)。本文詳細(xì)地闡述了導(dǎo)數(shù)的求解方法和在實(shí)際中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 求解 應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的基本概念在高等數(shù)學(xué)中地位很高，是高等數(shù)學(xué)的核心靈魂，因此學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重要性是不言而喻的。然而這種重要性很多同學(xué)沒(méi)有意識(shí)到，更不懂得如何求解導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決有關(guān)的問(wèn)題。我通過(guò)自己的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)，舉例子說(shuō)明了幾種導(dǎo)數(shù)的求解方法以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。
一、導(dǎo)數(shù)的定義
1.導(dǎo)數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果自變量x在x0的改變量為△x(x0≠0，且x0±△x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y與△x之比 ，當(dāng)△x→0時(shí)，有極限lim =lim 存在，就稱(chēng)此極限為該函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，且有函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，記為f`(x0)。
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處的切線(xiàn)斜率，即f`(x0)=tan，其中是切線(xiàn)的傾角。如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，這時(shí)曲線(xiàn)y=f(x)的割線(xiàn)以垂直于x軸的直線(xiàn)x=x0為極限位置，即曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處具有垂直于x軸的切線(xiàn)x=x0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，可知曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處的切線(xiàn)方程。
二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.實(shí)際應(yīng)用
假設(shè)某一公司每個(gè)月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定的成本是1000元，關(guān)于生產(chǎn)數(shù)量x的可變成本函數(shù)是0.01x2+10x元，若每個(gè)產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格是30元，求：總成本的函數(shù)，總收入的函數(shù)，總利潤(rùn)的函數(shù)，邊際收入，邊際成本及邊際利潤(rùn)等為零時(shí)的產(chǎn)量。
解：總的成本函數(shù)是可變成本函數(shù)和固定成本函數(shù)之和：
總成本的函數(shù)C(x)=0.01x2+10x+1000
總收入的函數(shù)R(x)=px=30x(常數(shù)p是產(chǎn)品數(shù)量)
總利潤(rùn)的函數(shù)I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000
邊際收入R(x)Γ=30
邊際成本C(x)=0.02x+20
邊際利潤(rùn)I(x)=-0.02x+20
令I(lǐng)(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生產(chǎn)數(shù)量為1000個(gè)時(shí)，邊際利潤(rùn)是零。這也就表明了，當(dāng)每月生產(chǎn)數(shù)目為1000個(gè)時(shí)，利潤(rùn)也不會(huì)再增加了。
2.洛必達(dá)法則的應(yīng)用
如果當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那么極限lim 可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，分別簡(jiǎn)記為 或 。對(duì)于這類(lèi)極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一重要法則。下面我們會(huì)得出這一類(lèi)極限的一種簡(jiǎn)便并且很重要、很實(shí)用的方法。
定理1，設(shè)：
(1)當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于零;
(3)當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比的極限存在(或?yàn)闊o(wú)窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比值在x→a時(shí)的導(dǎo)數(shù)。這種在一定的條件下通過(guò)運(yùn)用分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值的方法就稱(chēng)為洛必達(dá)法則。
定理2，設(shè)：
(1)當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于零;
(3)當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比的極限存在(或?yàn)闊o(wú)窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比值在x→∞時(shí)的導(dǎo)數(shù)。
洛必達(dá)法則是計(jì)算未定式極限的一個(gè)重要并且效果很好的法則。盡管洛必達(dá)法則計(jì)算省時(shí)方便，但極易出錯(cuò)，下面是應(yīng)用這個(gè)法則時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：
在使用洛必達(dá)法則之前必須看好極限是不是 型或 型，若用過(guò)洛必法則之后還是 型或 型，就繼續(xù)使用，直至得出所要求的結(jié)果。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，要盡最大可能聯(lián)系和極限相關(guān)的性質(zhì)一起使用，使用極限的性質(zhì)處理問(wèn)題，先做一定恰當(dāng)?shù)奶幚恚詈笥寐灞剡_(dá)法則求解出結(jié)果。
3.判定函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或遞減)是函數(shù)的單調(diào)性。下面利用導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行一些研究。
如果函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加(單調(diào)減少)，那么它的圖形是一條沿著橫軸正向上升(或下降)的曲線(xiàn)。這時(shí)，各點(diǎn)處的斜率是非負(fù)的(非正的)，即y`=f`(x)≥0〔y`=f`(x)≤0〕。由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著緊密的聯(lián)系。反過(guò)來(lái)，用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性是不是可行呢?這就需要我們用相關(guān)的定理來(lái)證明一下這一想法是不是正確。經(jīng)過(guò)拉格朗日中值定理的證明得出如下定理：
定理1，設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。
(1)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;
(2)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。 即便是把這個(gè)判定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(甚至包括無(wú)窮區(qū)間)，這個(gè)結(jié)果最終也是成立的。與此同時(shí)也要注意下面的一些問(wèn)題：有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但是當(dāng)我們用導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間以后，就可以使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。這個(gè)結(jié)論對(duì)于在定義區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都是成立的。還可以得出，如果函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo)，則劃分函數(shù)的定義區(qū)間的分點(diǎn)還應(yīng)包括這些導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。
綜合以上兩種情形，我們可以得出下面的結(jié)論：
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f`(x)=0的根及導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證導(dǎo)函數(shù)f`(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上也都是單調(diào)的。
4.曲線(xiàn)的凹凸性
前面我們介紹了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題上的運(yùn)用，下面我們來(lái)探討曲線(xiàn)的凹凸性及其拐點(diǎn)的確定。函數(shù)的單調(diào)性在圖形的反映上，就是曲線(xiàn)的上升或者下降。但是曲線(xiàn)在上升或下降的過(guò)程中，還要考慮彎曲方向這一問(wèn)題。曲線(xiàn)在上升或下降的過(guò)程中有可能是凹的也有可能是凸的曲線(xiàn)弧，根據(jù)曲線(xiàn)弧凹凸性的不同，我們來(lái)研究下曲線(xiàn)的凹凸性及其拐點(diǎn)的判定。從幾何圖形上直觀(guān)地發(fā)現(xiàn)，在有的曲線(xiàn)弧上，如果任取兩點(diǎn)，然后聯(lián)接這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方，而有些曲線(xiàn)弧恰恰與之相反，曲線(xiàn)的這種性質(zhì)就是曲線(xiàn)的凹凸性。故曲線(xiàn)的凹凸性可以用聯(lián)接曲線(xiàn)弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線(xiàn)弧上相應(yīng)的點(diǎn)(即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn))的位置關(guān)系來(lái)描述。下面是曲線(xiàn)凹凸性的定義：
假設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)，恒有f( )< ，那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);反之，那么稱(chēng)f(x)在I上的圖形是(向下)凸的(或凸弧)。
如果函數(shù)f(x)在I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判別曲線(xiàn)的凹凸性，這就是下面的曲線(xiàn)凹凸性的判定定理。當(dāng)I不是閉區(qū)間時(shí)，定理也一樣。
定理2，假設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么：
(1)若在(a，b)內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)恒大于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凹的。
(2)若在(a，b)內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)恒小于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凸的。
一般情況下，設(shè)y=(x)在區(qū)間I上連續(xù)，區(qū)間I內(nèi)的一點(diǎn)x0，如果曲線(xiàn)y=f(x)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔x0，f(x0)〕時(shí)曲線(xiàn)的凹凸性改變了，那么就稱(chēng)點(diǎn)〔x0，f(x0)〕為該曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。
尋找曲線(xiàn)拐點(diǎn)的方法如下：從以上的定理可知，由y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判定曲線(xiàn)的凹凸性，因此，如果二階導(dǎo)函數(shù)的左右兩側(cè)臨近異號(hào)，那么該點(diǎn)就是曲線(xiàn)的一個(gè)拐點(diǎn)。故要尋找一個(gè)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，只要找出二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可。如果一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I存在，那么在這樣的分界點(diǎn)處必然有二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值;除此以外，二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，也有可能是二階導(dǎo)函數(shù)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)。綜合以上的分析和探討，在判定區(qū)間I上的連續(xù)曲線(xiàn)的拐點(diǎn)時(shí)，我們可以得出這樣的結(jié)論：
求出二階導(dǎo)函數(shù)并解出二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值，求出在區(qū)間I內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，對(duì)于求出的橫坐標(biāo)值或二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，檢查二階導(dǎo)函數(shù)在這些橫坐標(biāo)值的左右兩側(cè)的值是否異號(hào)。如果異號(hào)，則為曲線(xiàn)的拐點(diǎn);反之，則不是。
三、結(jié)論
在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)的求解方法以及與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的概念都是非常深?yuàn)W、難以理解的，因此需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)。而導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)作為整個(gè)課程的核心，不管在平常測(cè)試還是其他任何考試中都處于整本教材的重要地位，并且這一章節(jié)是后續(xù)課程內(nèi)容比如微分問(wèn)題、積分問(wèn)題、多元函數(shù)的微積分等章節(jié)的必備基礎(chǔ)知識(shí)，故學(xué)好導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程的基礎(chǔ)。
在以往的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)歷中，我遇到多數(shù)的學(xué)生學(xué)習(xí)起高等數(shù)學(xué)來(lái)簡(jiǎn)直難熬甚至非常吃力，我認(rèn)為找不到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程的方法和技巧是學(xué)生們學(xué)習(xí)吃力費(fèi)事的關(guān)鍵。在這里，結(jié)合教學(xué)中的好經(jīng)驗(yàn)，還有不好的經(jīng)驗(yàn)并引以為戒，以及大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常常出現(xiàn)的問(wèn)題，詳細(xì)地講述了導(dǎo)數(shù)的求解問(wèn)題，期望大家能夠取得良好的學(xué)習(xí)成效。
上面的內(nèi)容進(jìn)一步說(shuō)明了，在求解導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題時(shí)尤其要注意使用洛必達(dá)法則以找到方便快速的解題方法，如此便可以化繁為簡(jiǎn)，把難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解決問(wèn)題的效率。再就是導(dǎo)數(shù)真的是對(duì)后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)非常重要，因此我們不止要深入地了解導(dǎo)數(shù)的定義還要吃透定義，徹底領(lǐng)會(huì)導(dǎo)數(shù)的含義。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)要精通多種常用的求解導(dǎo)數(shù)的方法和了解不太常見(jiàn)的求解方法，以便在閑暇時(shí)研究探討，更要?jiǎng)?chuàng)新性地把導(dǎo)數(shù)運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中，去解決生活中的問(wèn)題。
本文以實(shí)踐知識(shí)的認(rèn)識(shí)為依據(jù)，講述了高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的一些常用求解方法以及一些生活中的應(yīng)用，希望對(duì)大家的生活和事業(yè)有些許幫助。
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