數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用范文(2)
數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用范文
數(shù)學(xué)論文導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用篇三
摘 要：高等數(shù)學(xué)是一門方法學(xué)科，因此可以說是許多專業(yè)課程的基礎(chǔ)。然而導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)在高等數(shù)學(xué)中是尤為重要的，在高等數(shù)學(xué)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，它起著承前啟后的作用，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)非常重要的任務(wù)。本文詳細(xì)地闡述了導(dǎo)數(shù)的求解方法和在實(shí)際中的應(yīng)用。
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 求解 應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)的基本概念在高等數(shù)學(xué)中地位很高，是高等數(shù)學(xué)的核心靈魂，因此學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的重要性是不言而喻的。然而這種重要性很多同學(xué)沒有意識到，更不懂得如何求解導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決有關(guān)的問題。我通過自己的學(xué)習(xí)和認(rèn)識，舉例子說明了幾種導(dǎo)數(shù)的求解方法以及導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用。
一、導(dǎo)數(shù)的定義
1.導(dǎo)數(shù)的定義
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果自變量x在x0的改變量為△x(x0≠0，且x0±△x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。
若△y與△x之比 ，當(dāng)△x→0時(shí)，有極限lim =lim 存在，就稱此極限為該函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，且有函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，記為f`(x0)。
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處的切線斜率，即f`(x0)=tan，其中是切線的傾角。如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，這時(shí)曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置，即曲線y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處具有垂直于x軸的切線x=x0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義并應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程，可知曲線y=f(x)在點(diǎn)〔x0，f(x0)〕處的切線方程。
二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.實(shí)際應(yīng)用
假設(shè)某一公司每個(gè)月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定的成本是1000元，關(guān)于生產(chǎn)數(shù)量x的可變成本函數(shù)是0.01x2+10x元，若每個(gè)產(chǎn)品的銷售價(jià)格是30元，求：總成本的函數(shù)，總收入的函數(shù)，總利潤的函數(shù)，邊際收入，邊際成本及邊際利潤等為零時(shí)的產(chǎn)量。
解：總的成本函數(shù)是可變成本函數(shù)和固定成本函數(shù)之和：
總成本的函數(shù)C(x)=0.01x2+10x+1000
總收入的函數(shù)R(x)=px=30x(常數(shù)p是產(chǎn)品數(shù)量)
總利潤的函數(shù)I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000
邊際收入R(x)Γ=30
邊際成本C(x)=0.02x+20
邊際利潤I(x)=-0.02x+20
令I(lǐng)(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生產(chǎn)數(shù)量為1000個(gè)時(shí)，邊際利潤是零。這也就表明了，當(dāng)每月生產(chǎn)數(shù)目為1000個(gè)時(shí)，利潤也不會再增加了。
2.洛必達(dá)法則的應(yīng)用
如果當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限lim 可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，分別簡記為 或 。對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一重要法則。下面我們會得出這一類極限的一種簡便并且很重要、很實(shí)用的方法。
定理1，設(shè)：
(1)當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于零;
(3)當(dāng)x→a時(shí)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比的極限存在(或?yàn)闊o窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比值在x→a時(shí)的導(dǎo)數(shù)。這種在一定的條件下通過運(yùn)用分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法就稱為洛必達(dá)法則。
定理2，設(shè)：
(1)當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;
(2)在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域內(nèi)，兩個(gè)函數(shù)f(x)與F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于零;
(3)當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比的極限存在(或?yàn)闊o窮大);
那么lim 的極限存在就等于函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)比值在x→∞時(shí)的導(dǎo)數(shù)。
洛必達(dá)法則是計(jì)算未定式極限的一個(gè)重要并且效果很好的法則。盡管洛必達(dá)法則計(jì)算省時(shí)方便，但極易出錯，下面是應(yīng)用這個(gè)法則時(shí)應(yīng)注意的問題：
在使用洛必達(dá)法則之前必須看好極限是不是 型或 型，若用過洛必法則之后還是 型或 型，就繼續(xù)使用，直至得出所要求的結(jié)果。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，要盡最大可能聯(lián)系和極限相關(guān)的性質(zhì)一起使用，使用極限的性質(zhì)處理問題，先做一定恰當(dāng)?shù)奶幚?，最后用洛必達(dá)法則求解出結(jié)果。
3.判定函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加(或遞減)是函數(shù)的單調(diào)性。下面利用導(dǎo)數(shù)的概念對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行一些研究。
如果函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加(單調(diào)減少)，那么它的圖形是一條沿著橫軸正向上升(或下降)的曲線。這時(shí)，各點(diǎn)處的斜率是非負(fù)的(非正的)，即y`=f`(x)≥0〔y`=f`(x)≤0〕。由此可見，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著緊密的聯(lián)系。反過來，用導(dǎo)數(shù)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)性是不是可行呢?這就需要我們用相關(guān)的定理來證明一下這一想法是不是正確。經(jīng)過拉格朗日中值定理的證明得出如下定理：
定理1，設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。
(1)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)增加;
(2)如果(a，b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于零，那么函數(shù)y=f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。 即便是把這個(gè)判定法中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間(甚至包括無窮區(qū)間)，這個(gè)結(jié)果最終也是成立的。與此同時(shí)也要注意下面的一些問題：有些函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但是當(dāng)我們用導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間以后，就可以使函數(shù)在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。這個(gè)結(jié)論對于在定義區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)都是成立的。還可以得出，如果函數(shù)在某些點(diǎn)處不可導(dǎo)，則劃分函數(shù)的定義區(qū)間的分點(diǎn)還應(yīng)包括這些導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。
綜合以上兩種情形，我們可以得出下面的結(jié)論：
如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)函數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f`(x)=0的根及導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證導(dǎo)函數(shù)f`(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上也都是單調(diào)的。
4.曲線的凹凸性
前面我們介紹了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性問題上的運(yùn)用，下面我們來探討曲線的凹凸性及其拐點(diǎn)的確定。函數(shù)的單調(diào)性在圖形的反映上，就是曲線的上升或者下降。但是曲線在上升或下降的過程中，還要考慮彎曲方向這一問題。曲線在上升或下降的過程中有可能是凹的也有可能是凸的曲線弧，根據(jù)曲線弧凹凸性的不同，我們來研究下曲線的凹凸性及其拐點(diǎn)的判定。從幾何圖形上直觀地發(fā)現(xiàn)，在有的曲線弧上，如果任取兩點(diǎn)，然后聯(lián)接這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方，而有些曲線弧恰恰與之相反，曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。故曲線的凹凸性可以用聯(lián)接曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)的點(diǎn)(即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn))的位置關(guān)系來描述。下面是曲線凹凸性的定義：
假設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點(diǎn)，恒有f( )< ，那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);反之，那么稱f(x)在I上的圖形是(向下)凸的(或凸弧)。
如果函數(shù)f(x)在I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。當(dāng)I不是閉區(qū)間時(shí)，定理也一樣。
定理2，假設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么：
(1)若在(a，b)內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)恒大于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凹的。
(2)若在(a，b)內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)恒小于零，則函數(shù)y=f(x)在[a，b]上的圖形是凸的。
一般情況下，設(shè)y=(x)在區(qū)間I上連續(xù)，區(qū)間I內(nèi)的一點(diǎn)x0，如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點(diǎn)〔x0，f(x0)〕時(shí)曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)〔x0，f(x0)〕為該曲線的拐點(diǎn)。
尋找曲線拐點(diǎn)的方法如下：從以上的定理可知，由y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)的符號可以判定曲線的凹凸性，因此，如果二階導(dǎo)函數(shù)的左右兩側(cè)臨近異號，那么該點(diǎn)就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)。故要尋找一個(gè)曲線的拐點(diǎn)，只要找出二階導(dǎo)函數(shù)的符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可。如果一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間I存在，那么在這樣的分界點(diǎn)處必然有二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值;除此以外，二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，也有可能是二階導(dǎo)函數(shù)符號發(fā)生變化的分界點(diǎn)。綜合以上的分析和探討，在判定區(qū)間I上的連續(xù)曲線的拐點(diǎn)時(shí)，我們可以得出這樣的結(jié)論：
求出二階導(dǎo)函數(shù)并解出二階導(dǎo)函數(shù)為零的橫坐標(biāo)值，求出在區(qū)間I內(nèi)二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，對于求出的橫坐標(biāo)值或二階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)，檢查二階導(dǎo)函數(shù)在這些橫坐標(biāo)值的左右兩側(cè)的值是否異號。如果異號，則為曲線的拐點(diǎn);反之，則不是。
三、結(jié)論
在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)的求解方法以及與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的概念都是非常深奧、難以理解的，因此需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)。而導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)作為整個(gè)課程的核心，不管在平常測試還是其他任何考試中都處于整本教材的重要地位，并且這一章節(jié)是后續(xù)課程內(nèi)容比如微分問題、積分問題、多元函數(shù)的微積分等章節(jié)的必備基礎(chǔ)知識，故學(xué)好導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門課程的基礎(chǔ)。
在以往的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)歷中，我遇到多數(shù)的學(xué)生學(xué)習(xí)起高等數(shù)學(xué)來簡直難熬甚至非常吃力，我認(rèn)為找不到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門課程的方法和技巧是學(xué)生們學(xué)習(xí)吃力費(fèi)事的關(guān)鍵。在這里，結(jié)合教學(xué)中的好經(jīng)驗(yàn)，還有不好的經(jīng)驗(yàn)并引以為戒，以及大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常常出現(xiàn)的問題，詳細(xì)地講述了導(dǎo)數(shù)的求解問題，期望大家能夠取得良好的學(xué)習(xí)成效。
上面的內(nèi)容進(jìn)一步說明了，在求解導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)尤其要注意使用洛必達(dá)法則以找到方便快速的解題方法，如此便可以化繁為簡，把難的問題簡單化，提高解決問題的效率。再就是導(dǎo)數(shù)真的是對后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)非常重要，因此我們不止要深入地了解導(dǎo)數(shù)的定義還要吃透定義，徹底領(lǐng)會導(dǎo)數(shù)的含義。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)要精通多種常用的求解導(dǎo)數(shù)的方法和了解不太常見的求解方法，以便在閑暇時(shí)研究探討，更要創(chuàng)新性地把導(dǎo)數(shù)運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中，去解決生活中的問題。
本文以實(shí)踐知識的認(rèn)識為依據(jù)，講述了高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的一些常用求解方法以及一些生活中的應(yīng)用，希望對大家的生活和事業(yè)有些許幫助。
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