初一一元一次方程9大套路
為什么數(shù)學(xué)是令無(wú)數(shù)初中生感到恐懼的科目?因?yàn)槌踔胁粌H增加了運(yùn)算難度，還增加了對(duì)解題思路的考核。因此，初中數(shù)學(xué)不再像小學(xué)數(shù)學(xué)那樣容易拿分。但是，如果掌握了技巧，再難的數(shù)學(xué)題也能拿高分!小編整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。
數(shù)學(xué)題目改變做題思維
第一步：換個(gè)方式看例題
不少同學(xué)看書(shū)和看例題，往往看一下就過(guò)去了，其實(shí)自己并沒(méi)有理解透徹。
所以，在看例題時(shí)，把解答蓋住，自己去做，做完或做不出時(shí)再去看，這時(shí)要想一想，自己做的哪里與解答不同，哪里沒(méi)想到，該注意什么，哪一種方法更好，還有沒(méi)有另外的解法。
第二步：探究出題的目的
數(shù)學(xué)能力的提高離不開(kāi)做題，“熟能生巧” 這個(gè)簡(jiǎn)單的道理大家都懂。
但做題不是搞題海戰(zhàn)術(shù)，要通過(guò)一題聯(lián)想到很多題。
一節(jié)課與其抓緊時(shí)間大汗淋淋地做二、三十道考查思路重復(fù)的題，不如深入透徹地掌握一道典型題。
第三步：學(xué)會(huì)優(yōu)化解題過(guò)程
在做選擇題時(shí)，盡可能小題小做，除直接法外，還要靈活運(yùn)用特殊值法、排除法、檢驗(yàn)法、數(shù)形結(jié)合法、估計(jì)法來(lái)解題。
在做解答題時(shí)，書(shū)寫(xiě)要簡(jiǎn)明、扼要、規(guī)范，不要“小題大做”，只要寫(xiě)出“得分點(diǎn)”即可。
第四步：分析試卷，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)
每次考試結(jié)束試卷發(fā)下來(lái)，要認(rèn)真分析得失，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。特別是將試卷中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分類(lèi)。
?、?遺憾之錯(cuò)。分明會(huì)做，反而做錯(cuò)了的題;
② 似非之錯(cuò)。記憶得不準(zhǔn)確，理解得不夠透徹，應(yīng)用得不夠自如的題
?、?無(wú)為之錯(cuò)。由于不會(huì)答錯(cuò)了或猜的，或者根本沒(méi)有答的問(wèn)題。
第五步：錯(cuò)一次反思一次
每次考試或多或少會(huì)發(fā)生些錯(cuò)誤，這并不可怕，要緊的是避免類(lèi)似的錯(cuò)誤在今后的考試中重現(xiàn)。
因此平時(shí)注意把錯(cuò)題記下來(lái)，包括三個(gè)方面：
?、?記下錯(cuò)誤是什么。
?、?錯(cuò)誤原因是什么。
?、?錯(cuò)誤糾正方法及注意事項(xiàng)。
七年級(jí)一元一次方程9大題型解析
一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟
(1)審題：弄清題意
(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系
(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程
(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值
(5)檢驗(yàn)，寫(xiě)答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫(xiě)出答案
二、一元一次方程解決應(yīng)用題的分類(lèi)
1.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、打折銷(xiāo)售問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
(1)商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品成本價(jià)
(2)商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品成品價(jià) ×100%
(3)商品銷(xiāo)售額=商品銷(xiāo)售價(jià)×商品銷(xiāo)售量
(4)商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)=(銷(xiāo)售價(jià)-成本價(jià))×銷(xiāo)售量
(5)商品打幾折出售，就是按原價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價(jià)的80%出售.
(二)例題解析
1.某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳。經(jīng)過(guò)測(cè)試：同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐;同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐。
(1)求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐。
(2)若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐?請(qǐng)說(shuō)明理由。
解：(1)設(shè)1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐，則1個(gè)大餐廳可供(1680-2y)名學(xué)生就餐，根據(jù)題意得：
2(1680-2y)+y=2280
解得：y=360(名)
所以1680-2y=960(名)
(2)因?yàn)?60×5+360×2=5520>5300 ，
所以如果同時(shí)開(kāi)放7個(gè)餐廳，能夠供全校的5300名學(xué)生就餐。
2.工藝商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元;按標(biāo)價(jià)的八五折銷(xiāo)售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷(xiāo)售該工藝品12件所獲利潤(rùn)相等。該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元?
解：設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是 元,標(biāo)價(jià)是(45+x)元。依題意，得：
8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x
解得：x=155(元)
所以45+x=200(元)
3.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)。
(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a
(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦?應(yīng)交電費(fèi)是多少元?
解：(1)由題意，得 0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72
解得a=60
(2)設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)， 0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答：90千瓦時(shí)，交32.40元。
4.某商店開(kāi)張為吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種旅游鞋每雙進(jìn)價(jià)為60元，八折出售后，商家所獲利潤(rùn)率為40%。問(wèn)這種鞋的標(biāo)價(jià)是多少元?優(yōu)惠價(jià)是多少?
利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本 40%= (80%X×60 )/60
解之得 X=105
105×80%=84元
5.甲乙兩件衣服的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，決定將家服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)，在實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝成本各是多少元?
解：設(shè)甲服裝成本價(jià)為x元，則乙服裝的成本價(jià)為(50–x)元，根據(jù)題意，
109x(1+50%) – x+(500-x)(1+40%)90% - (500 - x)=157
x=300
6.某商場(chǎng)按定價(jià)銷(xiāo)售某種電器時(shí)，每臺(tái)獲利48元，按定價(jià)的9折銷(xiāo)售該電器6臺(tái)與將定價(jià)降低30元銷(xiāo)售該電器9臺(tái)所獲得的利潤(rùn)相等，該電器每臺(tái)進(jìn)價(jià)、定價(jià)各是多少元?
(48+X)90%×6–6X=(48+X-30)×9–9X
解之得X=162
162+48=210
7.甲、乙兩種商品的單價(jià)之和為100元，因?yàn)榧竟?jié)變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)5%，調(diào)價(jià)后，甲、乙兩商品的單價(jià)之和比原計(jì)劃之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來(lái)單價(jià)?
解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%)
解之得x=20
8.一家商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折優(yōu)惠賣(mài)出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是多少?
解：設(shè)這種服裝每件的進(jìn)價(jià)是x元，則：
X(1+40﹪)×0.8-x=15
解得x=125
2.方案選擇問(wèn)題
(一)例題解析
1.某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)為1000元，經(jīng)粗加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元，經(jīng)精加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼召?gòu)這種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可加工16噸，如果進(jìn)行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷(xiāo)售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：
方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工.
方案二：盡可能多地對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒(méi)來(lái)得及進(jìn)行加工的蔬菜，在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售.
方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好15天完成.
你認(rèn)為哪種方案獲利最多?為什么?
解：方案一：獲利140×4500=630000(元)
方案二：獲利15×6×7500+(140-15×6)×1000=725000(元)
方案三：設(shè)精加工x噸，則粗加工(140-x)噸
依題意得 =15 解得x=60
獲利60×7500+(140-60)×4500=810000(元)
因?yàn)榈谌N獲利最多，所以應(yīng)選擇方案三。
2.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)。
(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a
(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時(shí)?應(yīng)交電費(fèi)是多少元?
解：(1)由題意，得0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72
解得a=60
(2)設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，則 0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x 解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元.
3.某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元。
(1)若家電商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案。
(2)若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷(xiāo)售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷(xiāo)售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷(xiāo)售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案?
解：按購(gòu)A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，設(shè)購(gòu)A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái)。
(1)①當(dāng)選購(gòu)A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(gòu)(50-x)臺(tái)，可得方程：1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300 2x=50 x=25 50-x=25
②當(dāng)選購(gòu)A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(gòu)(50-x)臺(tái)，
可得方程1500x+2500(50-x)=90000 3x+5(50-x)=1800 x=35 50-x=15
?、郛?dāng)購(gòu)B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為(50-y)臺(tái).
可得方程2100y+2500(50-y)=90000 21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意
由此可選擇兩種方案：一是購(gòu)A，B兩種電視機(jī)25臺(tái);二是購(gòu)A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái).
(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利 150×25+250×15=8750(元)
若選擇(1)中的方案②，可獲利 150×35+250×15=9000(元)
9000>8750 故為了獲利最多，選擇第二種方案。
3.儲(chǔ)蓄、儲(chǔ)蓄利息問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
(1)顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
(2)利息=本金×利率×期數(shù)
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率(20%)
(3)利潤(rùn)=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100%
(二)例題解析
1.為了準(zhǔn)備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費(fèi)20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲(chǔ)蓄，下面有三種教育儲(chǔ)蓄方式：
(1)直接存入一個(gè)6年期;
(2)先存入一個(gè)三年期，3年后將本息和自動(dòng)轉(zhuǎn)存一個(gè)三年期;
一年2.25
三年2.70
六年2.88
(3)先存入一個(gè)一年期的，后將本息和自動(dòng)轉(zhuǎn)存下一個(gè)一年期;你認(rèn)為哪種教育儲(chǔ)蓄方式開(kāi)始存入的本金比較少?
[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計(jì)算出每種教育儲(chǔ)蓄的本金是多少，再進(jìn)行比較。
解：(1)設(shè)存入一個(gè)6年的本金是X元,依題意得方程
X(1+6×2.88%)=20000，解得X=17053
(2)設(shè)存入兩個(gè)三年期開(kāi)始的本金為Y元，
Y(1+2.7%×3)(1+2.7%×3)=20000，X=17115
(3)設(shè)存入一年期本金為Z元 ，
Z(1+2.25%)6=20000，Z=17894
所以存入一個(gè)6年期的本金最少。
2.小剛的爸爸前年買(mǎi)了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問(wèn)這種債券的年利率是多少(精確到0.01%).
解：設(shè)這種債券的年利率是x，根據(jù)題意有
4500+4500×2×X×(1-20%)=4700，解得x=0.03
答：這種債券的年利率為3%
3.白云商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種商品的進(jìn)價(jià)是每件8元，銷(xiāo)售價(jià)是每件10元(銷(xiāo)售價(jià)與進(jìn)價(jià)的差價(jià)2元就是賣(mài)出一件商品所獲得的利潤(rùn)).現(xiàn)為了擴(kuò)大銷(xiāo)售量，把每件的銷(xiāo)售價(jià)降低x%出售，但要求賣(mài)出一件商品所獲得的利潤(rùn)是降價(jià)前所獲得的利潤(rùn)的90%，則x應(yīng)等于( )
A.1 B.1.8 C.2 D.10
點(diǎn)撥：根據(jù)題意列方程，得(10-8)×90%=10(1-x%)-8，解得x=2，故選C
4.工程問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
1.工程問(wèn)題中的三個(gè)量及其關(guān)系為：
工作總量=工作效率×工作時(shí)間
2.經(jīng)常在題目中未給出工作總量時(shí)，設(shè)工作總量為單位1。即完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1.
(二)例題解析
1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天完成，乙單獨(dú)做要15天完成，兩人合做4天后，剩下的部分由乙單獨(dú)做，還需要幾天完成?
解：設(shè)還需要X天完成，依題意，
得(1/10+1/15)×4+1/15X=1
解得X=5
2.某工作，甲單獨(dú)干需用15小時(shí)完成，乙單獨(dú)干需用12小時(shí)完成，若甲先干1小時(shí)、乙又單獨(dú)干4小時(shí)，剩下的工作兩人合作，問(wèn)：再用幾小時(shí)可全部完成任務(wù)?
解：設(shè)甲、乙兩個(gè)龍頭齊開(kāi)x小時(shí)。由已知得，甲每小時(shí)灌池子的1/2，乙每小時(shí)灌池子的1/3 。
列方程：1/2×0.5+( 1/2+1/3 )x=2/3,
1/4+5/6x=2/3, 5/6x= 5/12
x= =0.5
x+0.5=1(小時(shí))
3.某工廠計(jì)劃26小時(shí)生產(chǎn)一批零件，后因每小時(shí)多生產(chǎn)5件，用24小時(shí)，不但完成了任務(wù)，而且還比原計(jì)劃多生產(chǎn)了60件，問(wèn)原計(jì)劃生產(chǎn)多少零件?
解：(X/26+5)×24-60=X，
X=780
4.某工程，甲單獨(dú)完成續(xù)20天，乙單獨(dú)完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙再做幾天可以完成全部工程?
解：1 - 6(1/20+1/12 )= (1/12)X
X=2.4
5.已知甲、乙二人合作一項(xiàng)工程，甲25天獨(dú)立完成，乙20天獨(dú)立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再單獨(dú)做幾天才能完成?
解：1 -(1/25+1/20) ×5=(1/20)X
X=11
6.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作?
解：1-1/6×1/2=(1/6+1/4)X，
X=11/5， 2小時(shí)12分
5.行程問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
1.行程問(wèn)題中的三個(gè)基本量及其關(guān)系：
路程=速度×時(shí)間 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間
2.行程問(wèn)題基本類(lèi)型
(1)相遇問(wèn)題： 快行距+慢行距=原距
(2)追及問(wèn)題： 快行距-慢行距=原距
(3)航行問(wèn)題： 順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度
逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系
(二)例題解析
1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車(chē)多用3.6小時(shí)，已知步行速度為每小時(shí)8千米，公交車(chē)的速度為每小時(shí)40千米，設(shè)甲、乙兩地相距x千米，則列方程為_(kāi)____ 。
解：等量關(guān)系 步行時(shí)間-乘公交車(chē)的時(shí)間=3.6小時(shí)
列出方程是：X/8-X/40=3.6
2.某人從家里騎自行車(chē)到學(xué)校。若每小時(shí)行15千米，可比預(yù)定時(shí)間早到15分鐘;若每小時(shí)行9千米，可比預(yù)定時(shí)間晚到15分鐘;求從家里到學(xué)校的路程有多少千米?
解：等量關(guān)系
?、?速度15千米行的總路程=速度9千米行的總路程
?、?速度15千米行的時(shí)間+15分鐘=速度9千米行的時(shí)間-15分鐘
提醒：速度已知時(shí)，設(shè)時(shí)間列路程等式的方程，設(shè)路程列時(shí)間等式的方程。
方法一：設(shè)預(yù)定時(shí)間為x小/時(shí)，則列出方程是：15(x-0.25)=9(x+0.25)
方法二：設(shè)從家里到學(xué)校有x千米，則列出方程是：
X/15+15/60=X/9-15/60
3.一列客車(chē)車(chē)長(zhǎng)200米，一列貨車(chē)車(chē)長(zhǎng)280米，在平行的軌道上相向行駛，從兩車(chē)頭相遇到兩車(chē)車(chē)尾完全離開(kāi)經(jīng)過(guò)16秒，已知客車(chē)與貨車(chē)的速度之比是3：2，問(wèn)兩車(chē)每秒各行駛多少米?
提醒：將兩車(chē)車(chē)尾視為兩人，并且以兩車(chē)車(chē)長(zhǎng)和為總路程的相遇問(wèn)題。
等量關(guān)系：快車(chē)行的路程+慢車(chē)行的路程=兩列火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)之和
設(shè)客車(chē)的速度為3X米/秒，貨車(chē)的速度為2X米/秒，
則 16×3X+16×2X=200+280
4.與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車(chē)的人同時(shí)向南行進(jìn)。行人的速度是每小時(shí)3.6km，騎自行車(chē)的人的速度是每小時(shí)10.8km。如果一列火車(chē)從他們背后開(kāi)來(lái)，它通過(guò)行人的時(shí)間是22秒，通過(guò)騎自行車(chē)的人的時(shí)間是26秒。
⑴ 行人的速度為每秒多少米?
?、?這列火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)是多少米?
提醒：將火車(chē)車(chē)尾視為一個(gè)快者，則此題為以車(chē)長(zhǎng)為提前量的追擊問(wèn)題。
等量關(guān)系：
① 兩種情形下火車(chē)的速度相等
?、?兩種情形下火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)相等
在時(shí)間已知的情況下，設(shè)速度列路程等式的方程，設(shè)路程列速度等式的方程。
解：
?、?行人的速度是：3.6km/時(shí)=3600米÷3600秒=1米/秒
騎自行車(chē)的人的速度是：10.8km/時(shí)=10800米÷3600秒=3米/秒
⑵ 方法一：設(shè)火車(chē)的速度是X米/秒，則 26×(X-3)=22×(X-1) 解得X=4
方法二：設(shè)火車(chē)的車(chē)長(zhǎng)是x米，則(X+22×1)/22=(X+26×3)/26
6.一次遠(yuǎn)足活動(dòng)中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車(chē)，兩部分人同地出發(fā)。汽車(chē)速度是60千米/時(shí)，步行的速度是5千米/時(shí)，步行者比汽車(chē)提前1小時(shí)出發(fā)，這輛汽車(chē)到達(dá)目的地后，再回頭接步行的這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60千米。
問(wèn)：步行者在出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間與回頭接他們的汽車(chē)相遇(汽車(chē)掉頭的時(shí)間忽略不計(jì))
提醒：此類(lèi)題相當(dāng)于環(huán)形跑道問(wèn)題，兩者行的總路程為一圈，即步行者行的總路程+汽車(chē)行的總路程=60×2
解：設(shè)步行者在出發(fā)后經(jīng)過(guò)X小時(shí)與回頭接他們的汽車(chē)相遇，則 5X+60(X-1)=60×2
7.某人計(jì)劃騎車(chē)以每小時(shí)12千米的速度由A地到B地，這樣便可在規(guī)定的時(shí)間到達(dá)B地，但他因事將原計(jì)劃的時(shí)間推遲了20分，便只好以每小時(shí)15千米的速度前進(jìn)，結(jié)果比規(guī)定時(shí)間早4分鐘到達(dá)B地，求A、B兩地間的距離。
解：方法一：設(shè)由A地到B地規(guī)定的時(shí)間是 x 小時(shí)，則
12x=15×(X-20/60-4/60)
X=2
12X=12×2=24(千米)
方法二：設(shè)由A、B兩地的距離是 x 千米，則(設(shè)路程，列時(shí)間等式)
X/12-X/15=20/60+4/60
X=24
答：A、B兩地的距離是24千米。
溫馨提醒：當(dāng)速度已知，設(shè)時(shí)間，列路程等式;設(shè)路程，列時(shí)間等式是我們的解題策略。
8.一列火車(chē)勻速行駛，經(jīng)過(guò)一條長(zhǎng)300m的隧道需要20s的時(shí)間。隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車(chē)上的時(shí)間是10s，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車(chē)的長(zhǎng)度?火車(chē)的長(zhǎng)度是多少?若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。
解析：只要將車(chē)尾看作一個(gè)行人去分析即可，前者為此人通過(guò)300米的隧道再加上一個(gè)車(chē)長(zhǎng)，后者僅為此人通過(guò)一個(gè)車(chē)長(zhǎng)。
此題中告訴時(shí)間，只需設(shè)車(chē)長(zhǎng)列速度關(guān)系，或者是設(shè)車(chē)速列車(chē)長(zhǎng)關(guān)系等式。
解：方法一：設(shè)這列火車(chē)的長(zhǎng)度是x米，根據(jù)題意，得
(300+X)/20=X/10
x=300
答：這列火車(chē)長(zhǎng)300米。
方法二：設(shè)這列火車(chē)的速度是x米/秒，
根據(jù)題意，得
20x-300=10x x=30 10x=300
答：這列火車(chē)長(zhǎng)300米。
9.甲、乙兩地相距x千米，一列火車(chē)原來(lái)從甲地到乙地要用15小時(shí)，開(kāi)通高速鐵路后，車(chē)速平均每小時(shí)比原來(lái)加快了60千米，因此從甲地到乙地只需要10小時(shí)即可到達(dá)，列方程得________ 。
X/10-X/15=60
10.兩列火車(chē)分別行駛在平行的軌道上，其中快車(chē)車(chē)長(zhǎng)為100米，慢車(chē)車(chē)長(zhǎng)150米，已知當(dāng)兩車(chē)相向而行時(shí)，快車(chē)駛過(guò)慢車(chē)某個(gè)窗口所用的時(shí)間為5秒。
?、?兩車(chē)的速度之和及兩車(chē)相向而行時(shí)慢車(chē)經(jīng)過(guò)快車(chē)某一窗口所用的時(shí)間各是多少?
⑵ 如果兩車(chē)同向而行，慢車(chē)速度為8米/秒，快車(chē)從后面追趕慢車(chē)，那么從快車(chē)的車(chē)頭趕上慢車(chē)的車(chē)尾開(kāi)始到快車(chē)的車(chē)尾離開(kāi)慢車(chē)的車(chē)頭所需的時(shí)間至少是多少秒?
解析：① 快車(chē)駛過(guò)慢車(chē)某個(gè)窗口時(shí)：研究的是慢車(chē)窗口的人和快車(chē)車(chē)尾的人的相遇問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為快車(chē)車(chē)長(zhǎng)!
② 慢車(chē)駛過(guò)快車(chē)某個(gè)窗口時(shí)：研究的是快車(chē)窗口的人和慢車(chē)車(chē)尾的人的相遇問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為慢車(chē)車(chē)長(zhǎng)!
③ 快車(chē)從后面追趕慢車(chē)時(shí)：研究的是快車(chē)車(chē)尾的人追趕慢車(chē)車(chē)頭的人的追擊問(wèn)題，此時(shí)行駛的路程和為兩車(chē)車(chē)長(zhǎng)之和!
解：⑴ 兩車(chē)的速度之和=100÷5=20(米/秒)
慢車(chē)經(jīng)過(guò)快車(chē)某一窗口所用的時(shí)間=150÷20=7.5(秒)
⑵ 設(shè)至少是x秒，(快車(chē)車(chē)速為20-8)
則 (20-8)X-8X=100+150
X=62.5
答：至少62.5秒快車(chē)從后面追趕上并全部超過(guò)慢車(chē)。
11.甲、乙兩人同時(shí)從A地前往相距25.5千米的B地，甲騎自行車(chē)，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米/時(shí)，甲先到達(dá)B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，這時(shí)距他們出發(fā)時(shí)已過(guò)了3小時(shí)。求兩人的速度。
解：設(shè)乙的速度是X千米/時(shí)，則
3X+3 (2X+2)=25.5×2
∴ X=5
2X+2=12
答：甲、乙的速度分別是12千米/時(shí)、5千米/時(shí)。
12.一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流的速度是3千米/時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭之間的距離。
解：設(shè)船在靜水中的速度是X千米/時(shí)，則
3×(X-3)=2×(X+3)
解得x=15 2×(X+3)=2×(15+3) =36(千米)
答：兩碼頭之間的距離是36千米。
13.小明在靜水中劃船的速度為10千米/時(shí)，今往返于某條河，逆水用了9小時(shí)，順?biāo)昧?小時(shí)，求該河的水流速度。
解：設(shè)水流速度為x千米/時(shí)，
則9(10-X)=6(10+X)
解得X=2
答：水流速度為2千米/時(shí)
14.某船從A碼頭順流航行到B碼頭，然后逆流返行到C碼頭，共行20小時(shí)，已知船在靜水中的速度為7.5千米/時(shí)，水流的速度為2.5千米/時(shí)，若A與C的距離比A與B的距離短40千米，求A與B的距離。
解：設(shè)A與B的距離是X千米，(請(qǐng)你按下面的分類(lèi)畫(huà)出示意圖，來(lái)理解所列方程)
① 當(dāng)C在A、B之間時(shí)，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20
解得x=120
?、?當(dāng)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20
解得x=56
答：A與B的距離是120千米或56千米。
6.環(huán)行跑道與時(shí)鐘問(wèn)題
(一)例題解析
1.在6點(diǎn)和7點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)鐘的分針和時(shí)針重合?
解析：6：00時(shí)分針指向12，時(shí)針指向6，此時(shí)二針相差180°，在6：00～7：00之間，經(jīng)過(guò)x分鐘當(dāng)二針重合時(shí)，時(shí)針走了0.5x°分針走了6x°
以下按追擊問(wèn)題可列出方程，不難求解。
解：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘二針重合，
則6x=180+0.5x
解得 X=360/11
2.甲、乙兩人在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上跑步，甲分鐘跑240米，乙每分鐘跑200米，二人同時(shí)同地同向出發(fā)，幾分鐘后二人相遇?若背向跑，幾分鐘后相遇?
提醒：此題為環(huán)形跑道上，同時(shí)同地同向的追擊與相遇問(wèn)題。
解：① 設(shè)同時(shí)同地同向出發(fā)x分鐘后二人相遇，則
240X-200X=400
X=10
?、?設(shè)背向跑，X分鐘后相遇，則
240x+200X=400
X= 1/11
3.某鐘表每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢3分鐘。若在清晨6時(shí)30分與準(zhǔn)確時(shí)間對(duì)準(zhǔn)，則當(dāng)天中午該鐘表指示時(shí)間為12時(shí)50分時(shí)，準(zhǔn)確時(shí)間是多少?
解：方法一：設(shè)準(zhǔn)確時(shí)間經(jīng)過(guò)X分鐘，則
x∶380=60∶(60-3)
解得x=400分=6時(shí)40分
6：30+6：40=13：10
方法二：設(shè)準(zhǔn)確時(shí)間經(jīng)過(guò)x時(shí)，則
3/60×(X-6.5)=X-12×5/6
7.若干應(yīng)用問(wèn)題等量關(guān)系的規(guī)律
(一)知識(shí)點(diǎn)
(1)和、差、倍、分問(wèn)題
此類(lèi)題既可有示運(yùn)算關(guān)系，又可表示相等關(guān)系，要結(jié)合題意特別注意題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導(dǎo)我們正確地列出代數(shù)式或方程式。
增長(zhǎng)量=原有量×增長(zhǎng)率
現(xiàn)在量=原有量+增長(zhǎng)量
(2)等積變形問(wèn)題
常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變。
?、僦w的體積公式
V=底面積×高=S·h= r2h(2為平方)
②長(zhǎng)方體的體積
V=長(zhǎng)×寬×高=abc
(二)例題解析
1.某糧庫(kù)裝糧食，第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)是第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧的3倍，如果從第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中取出20噸放入第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)中，第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)中的糧食是第一個(gè)中的 。問(wèn)每個(gè)倉(cāng)庫(kù)各有多少糧食?
設(shè)第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧X噸，則第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧3X噸，根據(jù)題意得
5/7×(3X-20)=X+20
X=30 3X=90
2.一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米， π≈3.14)
設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得
π·(200/2)2x=300×300×80(X前的2為平方)
X≈229.3
答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米
3.長(zhǎng)方體甲的長(zhǎng)、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長(zhǎng)方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高?
設(shè)乙的高為 Xmm，根據(jù)題意得
260×150×325=2.5×130×130×X
X=300
8.數(shù)字問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
(1)要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個(gè)位數(shù)字為c(其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9)則這個(gè)三位數(shù)表示為：100a+10b+c。然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程。
(2)數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1;偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n—2表示;奇數(shù)用2n+1或2n—1表示。
(二)例題解析
1. 一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍，求這個(gè)三位數(shù)。
解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)十位上的數(shù)為X，則百位上的數(shù)為X+7，個(gè)位上的數(shù)是3x
x+x+7+3x=17 解得x=2
x+7=9，3x=6 答：這個(gè)三位數(shù)是926
2. 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位與個(gè)位上的數(shù)對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來(lái)的兩位數(shù)。
等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=對(duì)調(diào)后新兩位數(shù)
解：設(shè)十位上的數(shù)字X，則個(gè)位上的數(shù)是2X，
10×2X+X=(10X+2X)+36
解得X=4，2X=8，
答：原來(lái)的兩位數(shù)是48。
9.日歷問(wèn)題
(一)知識(shí)點(diǎn)
日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數(shù)相差1，豎行相鄰兩數(shù)相差7。
(二)例題解析
1.如果某一年的5月份中，有5個(gè)星期五，且它們的日期之和為80，那么這個(gè)月的4號(hào)是星期幾?
設(shè)第一個(gè)星期五為x號(hào)，依題意得：
x+x+7+x+14+x+21+x+28=80，
5x+70=80，
5x+70-70=80-70，
5x÷5=10÷5，
x=2.
因此這個(gè)月的4日是星期日
答：這個(gè)月的4號(hào)是星期日
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