新版初一數(shù)學(xué)一元一次方程的應(yīng)用
新版初一數(shù)學(xué)一元一次方程的應(yīng)用
初一數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程，所以新初一的學(xué)生可以趁著這個(gè)暑期把這部分內(nèi)容預(yù)習(xí)好，小編在這里整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。
1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟
(1)審題：弄清題意.(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.(5)檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案.
2.和差倍分問題
增長量=原有量×增長率 現(xiàn)在量=原有量+增長量
3.等積變形問題
常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變.
?、賵A柱體的體積公式 V=底面積×高=S·h=πr2h
?、陂L方體的體積 V=長×寬×高=abc
4.數(shù)字問題
一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c.
十位數(shù)可表示為10b+a， 百位數(shù)可表示為100c+10b+a.
然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.
5.市場經(jīng)濟(jì)問題
(1)商品利潤=商品售價(jià)-商品成本價(jià) (2)商品利潤率=商品利潤/商品成本價(jià)×100%
(3)商品銷售額=商品銷售價(jià)×商品銷售量
(4)商品的銷售利潤=(銷售價(jià)-成本價(jià))×銷售量
(5)商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.
6.行程問題：路程=速度×時(shí)間 時(shí)間=路程÷速度 速度=路程÷時(shí)間
(1)相遇問題： 快行距+慢行距=原距
(2)追及問題： 快行距-慢行距=原距
(3)航行問題：順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))速度
逆水(風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度-水流(風(fēng))速度
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系.
7.工程問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間
完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1
8.儲(chǔ)蓄問題
利潤=每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息/本金×100% 利息=本金×利率×期數(shù)
習(xí)題：
1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作?
解：設(shè)甲、乙一起做還需x小時(shí)才能完成工作.
根據(jù)題意，得
1/6×1/2+(1/6+1/4)x=1
解這個(gè)方程，得x=11/5
11/5小時(shí)=2小時(shí)12分
答：甲、乙一起做還需2小時(shí)12分才能完成工作.
2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?
解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，
則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x.
由題意，得2×(9+x)=15+x
18+2x=15+x，2x-x=15-18
∴x=-3
答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍.
(點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量)
3.將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米，π≈3.14).
解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得
π·(200/2)2x=300×300×80
x≈229.3
答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米.
4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.
.解：設(shè)第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為(2x-50)米，過完第一鐵橋所需的時(shí)間為x/600分.
過完第二鐵橋所需的時(shí)間為2x-50/600分.
依題意，可列出方程
x/600 + 5/60 = 2x-50/600
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米。
5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5，這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克?
解：設(shè)這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克，
那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克.
根據(jù)題意，得2x+3x+5x=50
解這個(gè)方程，得x=5
于是2x=10，3x=15，5x=25
答：這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克，15克和25克.
6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加工甲種零件.
解：設(shè)這一天有x名工人加工甲種零件，
則這天加工甲種零件有5x個(gè)，乙種零件有4(16-x)個(gè).
根據(jù)題意，得16×5x+24×4(16-x)=1440
解得x=6
答：這一天有6名工人加工甲種零件.
7.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過a千瓦時(shí)，則超過部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi).
(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.
(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦?應(yīng)交電費(fèi)是多少元?
解：(1)由題意，得
0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72
解得a=60
(2)設(shè)九月份共用電x千瓦時(shí)，則
0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答：九月份共用電90千瓦時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)32.40元.
8.某家電商場計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.
(1)若家電商場同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商場的進(jìn)貨方案.
(2)若商場銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案?
解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，
設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái).
(1)①當(dāng)選購A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(50-x)臺(tái)，可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300
2x=50
x=25
50-x=25
?、诋?dāng)選購A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(50-x)臺(tái)，
可得方程1500x+2500(50-x)=90000
3x+5(50-x)=1800
x=35
50-x=15
③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為(50-y)臺(tái).
可得方程2100y+2500(50-y)=90000
21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意
由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)25臺(tái);二是購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái).
(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利
150×25+250×15=8750(元)
若選擇(1)中的方案②，可獲利
150×35+250×15=9000(元)
9000>8750 故為了獲利最多，選擇第二種方案.
一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是難以從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程;二是對(duì)數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時(shí)無從下手。
事實(shí)上，方程就是一個(gè)含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個(gè)式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。
一、 列方程解應(yīng)用題的步驟：
⑴審題：理解題意。1、弄清題目中的對(duì)象，找出題目中代表著對(duì)象之間關(guān)系的句子和詞;2、弄清題目中有什么，要我們干什么，找出有什么(已知)和干什么(未知)之間的關(guān)系;
從應(yīng)用題來看一個(gè)題一般存在這兩個(gè)以上的關(guān)系，這兩關(guān)系一是題目中給出，二是題目中只給出一個(gè)，另一個(gè)關(guān)系是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫降囊恍┑攘筷P(guān)系(例如：路程=速度×時(shí)間等)所以解應(yīng)用題關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系，先就要長到代表等量關(guān)系的句子和詞語(如：誰比誰多，誰比誰少，誰是誰的幾倍，誰是誰的幾分之幾等)。解題時(shí)常用橫線畫出代表等量關(guān)系的句子和詞語。
⑵設(shè)元(未知數(shù))。①直接未知數(shù)：題目中問什么設(shè)什么;②間接未知數(shù)：先通過設(shè)未知數(shù)求出與與問題相關(guān)的量，然后再通過一些關(guān)系求出題目中的問題。(往往二者兼用)。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。但一元一次方程一般都只設(shè)一個(gè)未知數(shù)列一個(gè)方程。
?、怯煤粗獢?shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。
?、攘蟹匠蹋簩ふ蚁嗟汝P(guān)系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出)，列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。
?、山夥匠?6)檢驗(yàn)：一是檢驗(yàn)是否使方程有意義，例如分母不為0等;二是檢驗(yàn)是否使實(shí)際實(shí)際問題有意義(如;2/3個(gè)人等)。
(7)答題：回答出題目所問。
二、常見的常識(shí)性等量關(guān)系及關(guān)鍵詞語
(1)和、差、倍、分問題。
(2) 此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時(shí)要抓住關(guān)鍵詞，確定標(biāo)準(zhǔn)量與比校量，并注意每個(gè)詞的細(xì)微差別。
(2)等積變形問題。
此類問題的關(guān)鍵在“等積”上，是等量關(guān)系的所在，必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式?！暗确e變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：
?、傩螤蠲娣e變了，周長沒變;②原料體積=成品體積。
(3)調(diào)配問題。
從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見是“和、差、倍、分”關(guān)系，要注意調(diào)配對(duì)象流動(dòng)的方向和數(shù)量。這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：
?、偌扔姓{(diào)入又有調(diào)出;
②只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變;③只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”;而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。
例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書?
講評(píng)：本題難點(diǎn)是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進(jìn)行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有(x+200)本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為(x-100)本，甲架書變?yōu)?x+200)+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 (x+200)+100=6(x-100) ∴x=180 x+200=380
例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個(gè)。已知每條拉線管3個(gè)燈管或2個(gè)吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個(gè)?
講評(píng)：這是一道對(duì)開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有(13-x)個(gè)，燈管拉線為x/3條，吊扇拉線為13-x/2條，依題意“共有5條拉線”，有x/3 + 13-x/2=5 ∴x=9
例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個(gè)或螺母200個(gè)，一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套?
講評(píng)：產(chǎn)品配套(工人調(diào)配)問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系(比例關(guān)系)正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個(gè)數(shù)為200x個(gè)，則有(22-x)人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個(gè)數(shù)為120(22-x)個(gè)。由“一個(gè)螺絲要配兩個(gè)螺母”即“螺母的個(gè)數(shù)是螺絲個(gè)數(shù)的2倍”，有 200x=2×120(22-x)
∴x=12 22-x=10
例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成。現(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢?前三種料各稱了多少千克?
講評(píng)：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有 25x+2x+x=5600
∴ x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200
例18. 蘋果若干個(gè)分給小朋友，每人m個(gè)余14個(gè)，每人9個(gè)，則最后一人得6個(gè)。問小朋友有幾人?
講評(píng)：這是一個(gè)分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個(gè)蘋果余14個(gè)，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個(gè)蘋果最后一人6個(gè)，則蘋果總數(shù)為9(x-1)+6。蘋果總數(shù)不變，有
mx+14=9(x-1)+6 ∴x=17/9-m∵x、m均為整數(shù) ∴9-m=1
x=17
例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價(jià)格與4噸砂糖的價(jià)格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材?
講評(píng)：本題可轉(zhuǎn)換成一個(gè)比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設(shè)可換回鋼材x噸，則有 x∶288=35∶4 ∴x=2620
7.需設(shè)中間(間接)未知數(shù)求解的問題
一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。
例20.甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個(gè)數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)。
講評(píng)：本題中要求4個(gè)量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個(gè)數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個(gè)相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為x-8/2，乙數(shù)為x/3，丙數(shù)為x/4，丁數(shù)為x+4/5，由四個(gè)數(shù)的和是43，有 x-8/2 + x/3 + x/4+x + 4/5 = 43 ∴x = 36
∴ x-8/2=14 x/3=12 x/4=9 x+4/5=8
例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪(即每隊(duì)均需比賽10場)，其中勝1場得3分，平1場得1分，負(fù)1場得0分。向明中學(xué)足球隊(duì)在這次聯(lián)賽中所負(fù)場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場?
講評(píng)：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負(fù)的場數(shù)和平的場數(shù)，但設(shè)平或負(fù)的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。故設(shè)平_場，則負(fù)x-3場，勝10-(x+x-3)場，依題意有 3[10-(x+x-3)]+x=19 ∴x=4 ∴ 10-(x+x-3)= 5
(4)行程問題。
要掌握行程中的基本關(guān)系：路程=速度×時(shí)間。
相遇問題(相向而行)，這類問題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時(shí)走時(shí)兩人所走的時(shí)間相等為等量關(guān)系。甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及問題(同向而行)，這類問題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或以追及時(shí)間為等量關(guān)系。
?、?同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間 甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程
?、?同地不同時(shí);甲的時(shí)間=乙的時(shí)間-時(shí)間差 甲的路程=乙的路程
環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。
船(飛機(jī))航行問題：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度關(guān)系是：
順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(無風(fēng))中速度+水(風(fēng))流速度;逆水(風(fēng))速度=靜水(無風(fēng))中速度-水(風(fēng))流速度。
車上(離)橋問題：
?、佘嚿蠘蛑杠囶^接觸橋到車尾接觸橋的一段過程，所走路程為一個(gè)車長。
?、谲囯x橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程。所走的路程為一個(gè)成長
?、圮囘^橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程，所走路成為一個(gè)車長+橋長
④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程，所行路成為橋長-車長
行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意，并注意兩者運(yùn)動(dòng)時(shí)出發(fā)的時(shí)間和地點(diǎn)。
尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對(duì)有先后順序的問題卻通常以時(shí)間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時(shí)候還用速度作相等關(guān)系。
例1.某隊(duì)伍450米長，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時(shí)間?
講評(píng)：這一問題實(shí)際上分為兩個(gè)過程：①從排尾到排頭的過程是一個(gè)追及過程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人;②從排頭回到排尾的過程則是一個(gè)相遇過程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。
在追及過程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)(即排頭)速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米;追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程-被追者的路程=原來相隔的路程”，有：
3x-1.5x=450 ∴x=300
在相遇過程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100
故往返共需的時(shí)間為 x+y=300+100=400(秒)
例2 汽車從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以早到半小時(shí)。求A、B 兩地的距離。
講評(píng)：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時(shí)，則時(shí)間為x/40小時(shí);速度為45 km/小時(shí)，則時(shí)間為x/45小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有
x/40-x/45 = 1 ∴ x = 360
例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時(shí)，逆流航行需8小時(shí)，已知水流速度每小時(shí)2 km。求甲、乙兩地之間的距離。
講評(píng)：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為x/6km/小時(shí)，逆流速度為x/8km/小時(shí)，由航行問題中的重要等量關(guān)系有：
x/6-2= x/8 +2 ∴ x = 96
(5)工程問題。
其基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率×工作時(shí)間;合做的效率=各單獨(dú)做的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時(shí)，常設(shè)總工作量為“1”，分析時(shí)可采用列表或畫圖來幫助理解題意。
工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時(shí)間為t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，完成同一工作的時(shí)間差=多用的時(shí)間。
在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時(shí)不能看作整體1，此時(shí)工作效率也即工作速度。
例4. 加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)?
講評(píng)：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為1/20，乙的工作效率為1/10，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工(12-x)天，乙完成的工作量為x/10，甲完成的工作量為，依題意有 x/10 + 12-x/20 = 1 ∴x =8
例5. 收割一塊麥地，每小時(shí)割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)割完。收割了2/3后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工。求這塊麥地有多少畝?
講評(píng)：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時(shí)，割完x畝預(yù)計(jì)時(shí)間為x/4小時(shí)，收割2/3x畝工作時(shí)間為2/3x/4=小時(shí);改用新式工具后，工作效率為1.5×4=6畝/小時(shí)，割完剩下1/3x畝時(shí)間為1/3x /6 = x/18 小時(shí)，則實(shí)際用的時(shí)間為(x/6+ x/18)小時(shí)，依題意“比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工”有
x/4-(x/6+x/18)=1 ∴ x =36
例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開需10小時(shí)注滿一池水，乙單獨(dú)開需6小時(shí)注滿一池水，丙單獨(dú)開15小時(shí)放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開，需多少時(shí)間注滿水池?
講評(píng)：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、-1/15(進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù))，設(shè)x小時(shí)可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為x/10，x/6、-x/15，由三水管完成整體工作量1，有 x/10 +x/6 - x/15 = 1 ∴ x = 5
(6)溶液(混合物)問題
溶液(混合物)問題有四個(gè)基本量：溶質(zhì)(純凈物)、溶劑(雜質(zhì))、溶液(混合物)、濃度(含量)。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑(混合物=純凈物+雜質(zhì));②濃度=溶質(zhì)/溶液×100%=溶質(zhì)/溶質(zhì)+溶劑×100%【純度(含量)=純凈物/混合物×100%=純凈物/純凈物+雜×100%】;③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×(溶質(zhì)+溶劑)。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。
例11.把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過計(jì)算說明該同學(xué)加水是否過量?⑵如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20%的酒精多少克?如果加水過量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克?
講評(píng)：溶液問題中濃度的變化有稀釋(通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低)、濃化(通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高)兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個(gè)關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。
本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80%，溶質(zhì)(純酒精)為1000×80%克;設(shè)加x克水后，濃度為60%，此時(shí)溶液變?yōu)?1000+x)克，則溶質(zhì)(純酒精)為(1000+x)×60%克。由加水前后溶質(zhì)未變，有(1000+x)×60%=1000×80%
∴x = 1000/3>300 ∴該同學(xué)加水未過量。
?、圃O(shè)應(yīng)加入濃度為20%的酒精y克，此時(shí)總?cè)芤簽?1000+300+y)克，濃度為60%，溶質(zhì)(純酒精)為(1000+300+y)×60%;原兩種溶液的濃度分別為1000×80%、20%y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有(1000+300+y)×60%=1000×80%+20% ∴ y=50
(7)經(jīng)濟(jì)問題
與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個(gè)突出類型。經(jīng)濟(jì)類問題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤問題、②優(yōu)惠(促銷)問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時(shí)，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。
?、配N售利潤問題。利潤問題中有四個(gè)基本量：成本(進(jìn)價(jià))、銷售價(jià)(收入)、利潤、利潤率?；娟P(guān)系式有：①利潤=銷售價(jià)(收入)-成本(進(jìn)價(jià))【成本(進(jìn)價(jià))=銷售價(jià)(收入)-利潤】;②利潤率=利潤/成本(進(jìn)價(jià))【利潤=成本(進(jìn)價(jià))×利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實(shí)際銷售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率。打折問題中常以進(jìn)價(jià)不變作相等關(guān)系。
⑵優(yōu)惠(促銷)問題。日常生活中有很多促銷活動(dòng)，不同的購物(消費(fèi))方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測其變化趨勢。
?、谴尜J問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時(shí)最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個(gè)基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金×利率×期數(shù);(注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365。)②利息稅=利息×稅率;③本息和(本利)=本金+利息-利息稅。
例7.某商店先在廣州以每件15元的價(jià)格購進(jìn)某種商品10件，后來又到深圳以每件12.5元的價(jià)格購進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時(shí)，要獲利12%，那么這種商品的銷售價(jià)應(yīng)定多少?
講評(píng)：設(shè)銷售價(jià)每件x 元，銷售收入則為(10+40)x元，而成本(進(jìn)價(jià))為(5×10+40×12.5)，利潤率為12%，利潤為(5×10+40×12.5)×12%。由關(guān)系式①有
(10+40)x-(5×10+40×12.5)=(5×10+40×12.5)×12% ∴x=14.56
例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價(jià)七五折出售，則賠25元，而按定價(jià)的九折出售將賺20元。問這種商品的定價(jià)是多少?
講評(píng)：設(shè)定價(jià)為x元，七五折售價(jià)為75%x，利潤為-25元，進(jìn)價(jià)則為75%x-(-25)=75%x+25;九折銷售售價(jià)為90%x，利潤為20元，進(jìn)價(jià)為90%x-20。由進(jìn)價(jià)一定，有
75%x+25=90%x-20 ∴ x = 300
例9. 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16%。取款時(shí)扣除20%利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問半年前李勇同學(xué)共存入多少元?
講評(píng)：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16%，期數(shù)為0.5年，則利息為0.5×2.16%x，利息稅為20%×0.5×2.16%x，由存貸問題中關(guān)系式③有 x +0.5×2.16%x-20%×0.5×2.16%x=504.32 ∴ x = 500
例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算?
講評(píng)：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費(fèi)金額為(200+80%x)元，不買卡花費(fèi)金額為x元，故有
200+80%x = x ∴ x = 1000
當(dāng)x >1000時(shí)，如x=2000 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80%×2000=1800(元)
不買卡花費(fèi)為：2000(元 ) 此時(shí)買卡購物合算。
當(dāng)x <1000時(shí)，如x=800 買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80%×800=840(元)
不買卡花費(fèi)為：800(元) 此時(shí)買卡不合算。
(8)數(shù)字問題。
要正確區(qū)分“數(shù)”與“數(shù)字”兩個(gè)概念，這類問題通常采用間接設(shè)法，常見的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。列方程的前提還必須正確地表示多位數(shù)的代數(shù)式，一個(gè)多位數(shù)是各位上數(shù)字與該位計(jì)數(shù)單位的積之和。數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=∑(數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán))，如兩位數(shù)
=10a+b;三位數(shù)
=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時(shí)要注意整體設(shè)元思想的運(yùn)用。
例12. 一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個(gè)數(shù)。
講評(píng)：設(shè)這個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為(x+7)，這個(gè)三位數(shù)則為100(x+7)+10x+3x。依題意有(x+7)+x+3x=17 ∴x=2
∴100(x+7)+10x+3x=900+20+6=926
例13. 一個(gè)六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個(gè)數(shù)字移到個(gè)位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。
講評(píng)：這個(gè)六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個(gè)位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字被擴(kuò)大10倍，可將后五位數(shù)看成一個(gè)整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動(dòng)后的數(shù)為10x+1，依題意有 10x+1=10+x
∴x = 42857 則原數(shù)為142857
(9)年齡問題其基本數(shù)量關(guān)系： 大小兩個(gè)年齡差不會(huì)變。
這類問題主要尋找的等量關(guān)系是：抓住年齡增長，一年一歲，人人平等。
(10)比例分配問題：
這類問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。常用等量關(guān)系：各部分之和=總量。
(11).設(shè)而不求(設(shè)中間參數(shù))的問題
一些應(yīng)用題中，所給出的已知條件不夠滿足基本量關(guān)系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時(shí)，我們可以通過設(shè)出這個(gè)量，并將其看成已知條件，然后在計(jì)算中消去。這將有利于我們對(duì)問題本質(zhì)的理解。
例22.一艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜?(竹排的速度為水的流速)
分析：航行問題要抓住路程、速度、時(shí)間三個(gè)基本量，一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時(shí)間量，所求也是時(shí)間量，故需在路程和速度兩個(gè)量中設(shè)一個(gè)中間參數(shù)才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設(shè)兩地路程為a公里，則順?biāo)俣葹閍/5，逆水速度為a/7，設(shè)水流速度為x，有a/5-x=a/7+x ∴x=a/35，又設(shè)竹排從重慶到上海的時(shí)間為y晝夜，有 a/35·x=a ∴x=35
例23. 某校兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系兩家標(biāo)價(jià)相同的旅行社，經(jīng)洽談后，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費(fèi)，其余7.5折收費(fèi);乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠。
?、女?dāng)學(xué)生人數(shù)等于多少人時(shí)，甲旅行社與乙旅行社收費(fèi)價(jià)格一樣?
?、迫艉怂憬Y(jié)果，甲旅行社的優(yōu)惠價(jià)相對(duì)乙旅行社的優(yōu)惠價(jià)要便宜，問學(xué)生人數(shù)是多少?
講評(píng)：在本題中兩家旅行社的標(biāo)價(jià)和學(xué)生人數(shù)都是未知量，又都是列方程時(shí)不可少的基本量，但標(biāo)價(jià)不需求解。⑴中設(shè)標(biāo)價(jià)為a元，學(xué)生人數(shù)x人，甲旅行社的收費(fèi)為a+0.75a(x+1)元，乙旅行社收費(fèi)為0.8a(x+2)元，有 a+0.75a(x+1)=0.8a(x+2) ∴ x=3
⑵設(shè)學(xué)生人數(shù)為y 人，甲旅行社收費(fèi)為a+0.75a(y+1)元，乙旅行社收費(fèi)為0.8a(y+2)元，有0.8a(y+2)-[a+0.75a(y+1)]= ×0.8a(y+2)
∴y=8。
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