立體幾何中二面角的平面角的定位
空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容,解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定:定性分析→定位作圖→定量計(jì)算,其中定性是定位、定量的基礎(chǔ),而宣則是定位、定性的深化,在面面關(guān)系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量歸結(jié)為平面上角的度量,一般來說,對(duì)其平面角的定位是問題解決的先決一步,可是,從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂,甚至錯(cuò)誤地定其位,使問題的解決徒勞無益,本文就是針對(duì)這一點(diǎn),來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。
一、 重溫二面角的平面角的定義
如圖(1),α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC
α,且OC⊥ι;CD β,且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景,即∠COD是二面角α—ι—β的平面角,從中不難得到下列特征:
Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn),其平面角是唯一的;
Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直;
另外,如果在OC上任取上一點(diǎn)A,作AB⊥OD垂足為B,那么
由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB,這便是另一特征;
Ⅲ、體現(xiàn)出一完整的垂線定理(或逆定理)的環(huán)境背景。
對(duì)以上特征進(jìn)行剖析
由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成,所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線(面)”的問題。
特征Ⅰ表明,其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”,耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取,但又總是不隨便取定的,它必須與問題背景相互溝通,給計(jì)算提供方便。
例1 已知正三棱錐V—ABC側(cè)棱長為a,高為b,求側(cè)面與底面所成的角的大小。
由于正三棱錐的頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以連結(jié)CH交AB于O,且OC⊥AB,則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖(2)。正因?yàn)檎忮F的特性,解決此問題,可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn),而且使背景突出在面VOC上,給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。
特征Ⅱ指出,如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ與
α、β的交線,而交線所成的角就是α—ι—β的平面角,如圖。
由此可見,二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。
例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿對(duì)角線BD把△ABD折起,
使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A—BC-—C的大小。
這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題,解決問題的關(guān)鍵在
于搞清折疊前后“變”與“不變”。結(jié)果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E,則折疊后OA、OE與BD的垂直關(guān)系不變。但OA與OE此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面,此平面必與棱垂直。由特征Ⅱ可知,面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角,即為所求二面角的平面角。另外,A 在面BCD上的射影必在OE所在的直線上,又題設(shè)射影落在BC上,所以E點(diǎn)就是A′,這樣的定位給下面的定量提供了優(yōu)質(zhì)服務(wù)。事實(shí)上,AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5,OA′=OE=BO·tgc∠CBD,而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD,故OA′=27/20。在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′ =arccos9/16即所求的二面arccos9/16。
通過對(duì)例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算,特征Ⅱ從另一角度告訴我們:要確定二面角的平面角,我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”,然后,在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段,即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝,不僅便于定性、定位,更利于定量。
特征Ⅲ顯示,如果二面角α—ι—β的兩個(gè)半平面之一,存在垂線段AB,那么過垂足B作ι的垂線交ι于O,連結(jié)AO,由三垂線定理可知OA⊥ι;或者由A作ι的垂線交ι于O,連結(jié)OB,由三垂線定理逆定理可知OB⊥ι,此時(shí),∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角,如圖。
由此可見,地面角的平面角的定位可以找“垂線段”。
例3 在正方體ABCD—A1B1C1D1中,棱長為2,E為BC的中點(diǎn)。求面B1D1E與面積BB1C1C所成的二面角的大小。
例3的環(huán)境背景表明,面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個(gè)二面角,
由特征Ⅱ可知,這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ),下面,如
果思維由特征Ⅲ監(jiān)控,背景中的線段C1D1會(huì)使眼睛一亮,我們只須由C1(或D1)作B1E的垂線交B1E于O,然后連結(jié)OD1(或OC1),即得面D1BE與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,如圖,計(jì)算可得C1O=4*51/2/5。
在Rt△D1C1O中,tg∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。
故所求的二面角角為arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2
三、三個(gè)特征的關(guān)系
以上三個(gè)特征提供的思路在解決具體總是時(shí)各具特色,其標(biāo)的是
分別找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”。事實(shí)上,我們只要找到其中一個(gè),另兩個(gè)就接踵而來。掌握這種關(guān)系對(duì)提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。
1、 融合三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控,可有效地克服、抑制思維的
消極作用,培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性。
例3 將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的
一個(gè)側(cè)面吻合,則吻合后的幾何呈現(xiàn)幾個(gè)面?
這是一道競賽題,考生答“7個(gè)面”的占99.9%,少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎?
如圖,過兩個(gè)幾何體的高線VP、VQ的垂足P、Q分別作BC的垂線,則垂足重合于O,且O為BC的中點(diǎn),OP延長過A,OQ延長交ED于R。由特征 Ⅲ,∠AOR為二面角A—BC—R平面角,結(jié)合特征Ⅰ、Ⅱ,可得VAOR為平行四邊形,VA//BE,所以V、A、B、E共面,同理V、A、C、D共面,所以這道題的答案應(yīng)該是5個(gè)面!
2、 三個(gè)特征,雖然客觀存在,互相聯(lián)系,但在許多同題中卻
表現(xiàn)得含糊而冷漠——三個(gè)“標(biāo)的”均藏而不露,在這種形勢(shì)下,逼你去作,那么作誰?
由特征Ⅲ,有了“垂線段”便可定位。
例4 已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊上一
點(diǎn),沿CP將此直角三角形折成直二面角A—CP—B,當(dāng)AB=71/2時(shí),求二面角P—AC—B的大小。
作法一:∵A—CP—B為直角二面角,
∴過B作BD⊥CP交CP的延長線于D,則BD⊥DM APC。
∴過D作DE ⊥AC,垂足為E,連BE。
∴∠DEB為二面角A—CP—B的平面角。
作法二:過P點(diǎn)作PD′⊥PC交BC于D′,則PD′⊥面APC。
∴過D′作D′E′⊥AC,垂足為E′,邊PE′,
∴∠D′E′P為二面角P—AC—B的平面角。
再說,定位是為了定理,求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解,有了“垂線段”就可把它化歸為解一個(gè)直角三角形。
由此可見,要作,最好考慮作“垂線段”。
綜上所述,二面角其平面角的正確而合理的定位,要在正確其定義的基礎(chǔ)上,掌握其三個(gè)基本特征,并靈活運(yùn)用它們考察問題的環(huán)境背景,建立良好的主觀心理空間和客觀心理空間,以不變應(yīng)萬變。