八年級上冊數(shù)學(xué)期中測試題
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八年級上冊數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6，8，10 B.5，12，13 C.9，40，41 D.7，9，12
3.如果等腰三角形兩邊長是6和3，那么它的周長是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
4.如圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪個條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是( )
A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01
6.如圖，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC=9cm，AB=11cm，則△EBC的周長為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
7.在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
8.已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OA對稱，點P2與點P關(guān)于OB對稱，則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
二、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24分)
9.等腰三角形一個內(nèi)角的大小為50°，則其頂角的大小為__________.
10.如圖，已知B、E、F、C在同一直線上，BF=CE，AF=DE，則添加條件__________，可以判斷△ABF≌△DCE.
11.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有__________個.
12.已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若AC=4，BC=3，則CD=__________.
13.如圖，由四個直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中陰影部分面積為__________.
14.若直角三角形中，一斜邊比一直角邊大2，且另一直角邊長為6，則斜邊為__________.
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，則點D到AB的距離為__________.
16.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點C、D分別落在點C′、D′處，若∠AFE=65°，則∠C′EF=__________度.
17.如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為__________cm.
18.如圖，把Rt△ABC(∠C=90°)折疊，使A、B兩點重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點恰好與D點重合，則∠A等于__________度.
19.如圖，∠ACB=90°，E、F為AB上的點，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=__________.
20.如圖，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，點D、E分別為AM、AB上的動點，則BD+DE的最小值是__________.
三、解答題(本 大題共有7小題，共52分.把解答過程寫在相對應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明，作圖 時用鉛筆)
21.如圖，已知直線l及其同側(cè)兩點A、B.
(1)在直線l上求一點P，使到A、B兩點距離之和最短;
(2)在直線l上求一點O，使OA=OB.(請找出所有符合條件的點，并簡要說明作法，保留作圖痕跡)
22.如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E;求證：BC=DC.
23.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面積.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置，且B、C、E三點在一條直線上，連接CD.
求證：∠ACD=60°.
25.如圖，直線a、b相交于點A，C、E分別是直線b、a上兩點且BC⊥a，DE⊥b，點M、N是EC、DB的中點.求證：MN⊥BD.
26.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17，AD=9，求AE的長.
27.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9.
(1)求CD的長為__________.
(2)點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BC向點C運(yùn)動，連接DP.設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒，則當(dāng)t為何值時，△PDC為等腰三角形?
八年級上冊數(shù)學(xué)期中測試題參考答案
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某條直線折疊，兩邊能夠重合的圖形是軸對稱圖形，對各選項判斷即可.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤;
B、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤;
C、不是軸對稱圖形，符合題意，故本選項正確;
D、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤 ;
故選：C.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，屬于基礎(chǔ)題，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6，8，10 B.5，12，13 C.9，40，41 D.7，9，12
【考點】勾股數(shù).
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對四個答案進(jìn)行逐一判斷即可.
【解答】解：A、∵62+82=102=100，∴能構(gòu)成直角三角形;
B、52+122=132=169，∴能構(gòu)成直角三角形;
C、92+402=412=1681，∴能構(gòu)成直角三角形;
D、∵72+92≠122，∴不能構(gòu)成直角三角形.
故選D.
【點評】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即若三角形的三邊符合a2+b2=c2，則此三角形是直角三角形.
3.如果等腰三角形兩邊長是6和3，那么它的周長是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為6和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.
【解答】解：當(dāng)腰為3時，3+3=6，不能構(gòu)成三角形，因此這種情況不成立.
當(dāng)腰為6時，6﹣3<6<6+3，能構(gòu)成三角形;
此時等腰三角形的周長為6+6+3=15.
故選D.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去.
4.如圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪個條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
【考點】全等三角形的判定.
【分析】利用三角形全等的條件分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A、加上∠M=∠N可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN，故此選項不合題意;
B、加上AB=CD可利用SAS定理證明△ABM≌△CDN，故此選項不合題意;
C、加上AM∥CN可證明∠A=∠NCB，可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN，故此選項不合題意;
D、加上AM=CN不能證明△ABM≌△CDN，故此選項符合題意;
故選：D.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是( )
A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01
【考點】鏡面對稱.
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱.
【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與10：51成軸對稱，所以此時實際時刻為10：51.
故選C.
【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧.
6.如圖，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC=9cm，AB=11cm，則△EBC的周長為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，故可得出AB=AE+BE=CE+BE，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，BC=9cm，AB=11cm，
∴AE=CE，
∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm，
∴△EBC的周長=BC+(CE+BE)=BC+AB=9+11=20cm.
故選C.
【點評】本題考查的是線段2垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
7.在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗證答案.
【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意，
得① 或②
解方程組①得： ，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形;
解方程組②得： ，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時能組成三角形，
即等腰三角形的底邊長是11或7;
故選C.
【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計算.學(xué)生在解決本題時，有的同學(xué)會審題錯誤，以為15，12中包含著中線BD的長，從而無法解決問題，有的同學(xué)會忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況;注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.故解決本題最好先畫出圖形再作答.
8.已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OA對稱，點P2與點P關(guān)于OB對稱，則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解.
【解答】解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為P1、P2，
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴故△P1OP2是等邊三角形.
故選C.
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等.
二、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24 分)
9.等腰三角形一個內(nèi)角的大小為50°，則其頂角的大小為50°或80°.
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】可知有兩種情況(頂角是50°和底角是50°時)，由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù).
【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB=AC.
有兩種情況：
?、夙斀?ang;A=50°;
?、诋?dāng)?shù)捉鞘?0°時，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴這個等腰三角形的頂角為50°和80°.
故答案為：50°和80°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對有的問題正確地進(jìn)行分類討論是解答此題的關(guān)鍵.
10.如圖，已知B、E、F、C在同一直線上，BF=CE，AF=DE，則添加條件AB=DC(或∠AFB=∠DEC)，可以判斷△ABF≌△DCE.
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】已知兩組邊對應(yīng)相等，可再加第三組邊相等或已知兩組邊的夾角相等都可以.
【解答】解：由條件可再添加AB=DC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
也可添加∠AFB=∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
故答案為：AB=DC(或∠AFB=∠DEC).
【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵.
11.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有3個.
【考點】等腰三角形的判定;三角形內(nèi)角和定理;角平分線的性質(zhì).
【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏.
【解答】解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，
∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C=∠ABC=72°，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
故圖中共3個等腰三角形.
故答案為：3.
【點評】本題考查了等腰三角形的 性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
12.已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若AC=4，BC=3，則CD= .
【考點】勾股定理.
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可.
【 解答】解：∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= .
故答案為： .
【點評】此題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用.
13.如圖，由四個直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中陰影部分面積為1.
【考點】正方形的性質(zhì).
【分析】求出陰影部分的正方形的邊長，即可得到面積.
【解答】解：∵四個全等的直角三角形的直角邊分別是5和4，
∴陰影部分的正方形的邊長為5﹣4=1，
∴陰影部分面積為1×1=1.
故答案為：1.
【點評】本題考查了“趙爽弦圖”，正方形的面積，熟悉“趙爽弦圖”中小正方形的邊長等于四個全等的直角三角形中兩直角邊的差是解題的關(guān)鍵.
14.若直角三角形中，一斜邊比一直角邊大2，且另一直角邊長為6，則斜邊為10.
【考點】勾股定理.
【專題】探究型.
【分析】設(shè)一條直角邊為a，則斜邊為a+2，再根據(jù)勾股定理求出a的值即可.
【解答】解：設(shè)一條直角邊為a，則斜邊為a+2，
∵另一直角邊長為6，
∴(a+2)2=a2+62，解得a=8，
∴a+2=8+2=10.
故答案為：10.
【點評】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意設(shè)出直角三角形的斜邊及直角邊的長是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，則點D到AB的距離為5.
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論.
【解答】解：過D點作DE⊥AB于點E，則DE即為所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，
∴CD=DE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)，
∵CD=5，
∴DE=5.
故答案為：5.
【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
16 .如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點C、D分別落在點C′、D′處，若∠AFE=65°，則∠C′EF=65度.
【考點】翻折變換(折疊問題).
【專題】應(yīng)用題;壓軸題.
【分析】利用矩形ABCD可知，AD∥BC，所以∠FEC=∠AFE=65°，又因為沿EF折疊，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠C的度數(shù).
【解答】解：∵AD∥BC
∴∠FEC=∠AFE=65°
又∵沿EF折疊
∴∠C′EF=∠FEC=65°.
【點評】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;②平行線的性質(zhì)求解.
17.如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為3cm.
【考點】翻折變換(折疊問題);軸對稱的性質(zhì).
【分析】由題意得AE=A′E，AD=A′D，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長.
【解答】解：將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，
所以AD=A′D，AE=A′E.
則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=3cm.
故答案為：3.
【點評】折疊問題的實質(zhì)是“軸對稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等量關(guān)系.
18.如圖，把Rt△ABC(∠C=90°)折疊，使A、B兩點重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點恰好與D點重合，則∠A等于30度.
【考點】翻折變換(折疊問題);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】由折疊的性質(zhì)知，AD=BD=BC，可求得sinA= ，所以可得∠A=30°.
【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=BD=BC.
∴sinA=BC：AB= ，
∴∠A=30°.
【點評】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;②正弦的概念.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
19.如圖，∠ACB=90°，E、F為AB上的點，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=45°.
【考點 】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，從而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°求解.
【解答】解：∵AE=AC，BC=BF，
∴∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，
∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°，
故答案為：45°.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)中的等邊對等角，難度較小，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)要求的角和直角之間的關(guān)系.
20.如圖，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，點D、E分別為AM、AB上的動點，則BD+DE的最小值是8.
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】過B點作BF⊥AC于點F，BF與AM交于D點，根據(jù)三角形兩邊之和小于第三邊，可知BD+DE的最小值是線段BF的長，根據(jù)勾股定理列出方程組即可求解.
【解答】解：過B點作BF⊥AC于點F，BF與AM交于D點.
設(shè)AF=x，則CF=21﹣x，依題意有
，
解得 ， (負(fù)值舍去).
故BD+DE的最小值是8.
故答案為：8.
【點評】考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理和解方程組，理解BD+DE的最小值是AC邊的高的長是解題的難點.
三、解答題(本大題共有7小題，共52分.把解答過程寫在相對應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明，作圖時用鉛筆)
21.如圖，已知直線l及其同側(cè)兩點A、B.
(1)在直線l上求一點P，使到A、B兩點距離之和最短;
(2)在直線l上求一點O，使OA=OB.(請找出所有符合條件的點，并簡要說明作法，保留作圖痕跡)
【考點】軸對稱-最短路線問題.
【分析】(1)根據(jù)兩點之間線段最短，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則P為所求點;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB，在作出線段AB的垂直平分線即可;
【解答】解：(1)作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，點P即為所求的點;
(2)連接AB，作AB的中垂線，交l于點O，點O即為所求的點.
【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段的垂直平分線，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操作能力，題目比較典型，是一道比較好的題目.
22.如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E;求證：BC=DC.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴BC=DC.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.
23.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面積.
【考點】勾股定理.
【分析】利用三角形的面積求出AC的長度，在△ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形.面積等于兩直角邊乘積的一半.
【解答】解：在Rt△ACD中，
S△ACD= AC•CD=30，
∵DC=12cm，
∴AC=5cm，
∵AB2+BC2=25，
AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴S△ABC= AB.BC= ×3×4=6cm2.
【點評】根據(jù)面積求出一直角邊的長度，再利用勾股定理逆定理判斷出直角三角形，面積就可以求出了.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置，且B、C、E三點在一條直 線上，連接CD.
求證：∠ACD=60°.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】易證△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠ACD.
【解答】證明：∵等邊△ABC和等邊△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠B=60°，
∴∠ACD=60°.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，但也要細(xì)心.
25.如圖，直線a、b相交于點A，C、E分別是直線b、a上兩點且BC⊥a，DE⊥b，點M、N是EC、DB的中點.求證：MN⊥BD.
【考點】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM= EC，BM= EC，從而得到DM=BM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明.
【解答】證明 ：∵BC⊥a，DE⊥b，點M是EC的中點，
∴DM= EC，BM= EC，
∴DM=BM，
∵點N是BD的中點，
∴MN ⊥BD.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.
26.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17，AD=9，求AE的長.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【分析】(1)求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根據(jù)HL證出兩三角形全等即可.
(2)求出DF=BE，證Rt△AFC≌ Rt△AEC，推出AF=AE，設(shè)DF=BE=x，得出方程17﹣x=9+x，求出x，即可求出答案.
【解答】(1)證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=C F，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE與Rt△DCF中， ，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∵∠F=∠CEA=90°，
∴在Rt△AFC和Rt△AEC中
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)，
∴AF=AE，
設(shè)DF=BE=x
∵AB=17，AD=9，
∴17﹣x=9+x
解得：x=4
∴AE=17﹣4=13.
【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL.
27.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9.
(1)求CD的長為5.
(2)點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著邊BC向點C運(yùn)動，連接DP.設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒，則當(dāng)t為何值時，△PDC為等腰三角形?
【考點】勾股定理;等腰三角形的判定.
【專題】動點型.
【分析】(1)過點D作DE⊥BC，垂足為E，先判斷出四邊形ABED是矩形，在Rt△DCE中根據(jù)勾股定理即可得出CD的長;
(2)過點D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得PC=9﹣t，PE=6﹣t.再分CD=CP，CD=PD，PD=PC三種情況進(jìn)行討論.
【解答】解：(1)過點D作DE⊥BC，垂足為E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊 形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，
在Rt△DCE中，CD= = =5.
故答案為：5;
(2)過點D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得PC=9﹣t，PE=6﹣t.
當(dāng)CD=CP時，5=9﹣t，解得t=4;
當(dāng)CD=PD時，E為PC中點，
∴6﹣t=3，
∴t=3;
當(dāng)PD=PC時，PD2=PC2，
∴(6﹣t)2+42=(9﹣t)2，
解得t= .
故t的值為t=3或4或 .
【點評】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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