八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷
做八年級數(shù)學(xué)試題好問的人,只做了五分種的愚人;恥于發(fā)問的人,終身為愚人。學(xué)習(xí)啦為大家整理了八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷,歡迎大家閱讀!
八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷及參考答案
一、反比例函數(shù)與等腰三角形結(jié)合
試題1、(2015常州)如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y= x的圖象交于點A、B,點B的橫坐標是4.點P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動點,且在直線AB的上方.
(1)若點P的坐標是(1,4),直接寫出k的值和△PAB的面積;
(2)設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點M、N,求證:△PMN是等腰三角形;
(3)設(shè)點Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動點(與點P、B不重合),連接AQ、BQ,比較∠PAQ與∠PBQ的大小,并說明理由.
【解答】解:(1)k=4,S△PAB=15.
提示:過點A作AR⊥y軸于R,過點P作PS⊥y軸于S,連接PO,
設(shè)AP與y軸交于點C,如圖1,
把x=4代入y= x,得到點B的坐標為(4,1),
把點B(4,1)代入y= ,得k=4.
解方程組 ,得到點A的坐標為(﹣4,﹣1),
則點A與點B關(guān)于原點對稱,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n,
把點A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直線AP的解析式為y=x+3,
則點C的坐標(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OCAR+ OCPS
= ×3×4+ ×3×1= ,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)過點P作PH⊥x軸于H,如圖2.
B(4,1),則反比例函數(shù)解析式為y= ,
設(shè)P(m, ),直線PA的方程為y=ax+b,直線PB的方程為y=px+q,
聯(lián)立 ,解得直線PA的方程為y= x+ ﹣1,
聯(lián)立 ,解得直線PB的方程為y=﹣ x+ +1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
過點Q作QT⊥x軸于T,設(shè)AQ交x軸于D,QB的延長線交x軸于E,如圖3.
可設(shè)點Q為(c, ),直線AQ的解析式為y=px+q,則有
,
解得: ,
∴直線AQ的解析式為y= x+ ﹣1.
當(dāng)y=0時, x+ ﹣1=0,
解得:x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
試題2、(2016黃岡校級自主招生)如圖,直線OB是一次函數(shù)y=2x的圖象,點A的坐標是(0,2),點C在直線OB上且△ACO為等腰三角形,求C點坐標.
【解答】解:若此等腰三角形以O(shè)A為一腰,且以A為頂點,則AO=AC1=2.
設(shè)C1(x,2x),則得x2+(2x﹣2)2=22,
解得 ,得C1( ),
若此等腰三角形以O(shè)A為一腰,且以O(shè)為頂點,則OC2=OC3=OA=2,
設(shè)C2(x′,2x′),則得x′2+(2x′)2=22,解得 = ,
∴C2( ),
又由點C3與點C2關(guān)于原點對稱,得C3( ),
若此等腰三角形以O(shè)A為底邊,則C4的縱坐標為1,從而其橫坐標為 ,得C4( ),
所以,滿足題意的點C有4個,坐標分別為:( ),( ),( ),C4( ).
試題3、(2011廣西來賓,23,10分)已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)圖像交于點A(1,4)和B(m, -2).
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式.
(2)如果點C與點A關(guān)于x軸對稱,求△ABC的面積。
(3)點P是X軸上的動點,△AOP是等腰三角形,求點P的坐標。
二、反比例函數(shù)與等邊三角形結(jié)合
試題1、如圖,直線y=2x+4與x,y軸分別交于A,B兩點,以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC,將點C向左平移,使其對應(yīng)點C′恰好落在直線AB上,則點C′的坐標為 (﹣1,2) .
解:∵直線y=2x+4與y軸交于B點,
∴x=0時,得y=4,∴B(0,4).
∵以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC,
∴C在線段OB的垂直平分線上,
∴C點縱坐標為2.
將y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=﹣1.
故答案為:(﹣1,2).
試題2、(2015黃岡校級自主招生)如圖,△AOB和△ACD均為正三角形,且頂點B、D均在雙曲線 (x>0)上,則圖中S△OBP=( )
A. B. C. D.4
【解答】解:∵△AOB和△ACD均為正三角形,
∴∠AOB=∠CAD=60°,
∴AD∥OB,
∴S△ABP=S△AOP,
∴S△OBP=S△AOB,
過點B作BE⊥OA于點E,則S△OBE=S△ABE= S△AOB,
∵點B在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴S△OBE= ×4=2,
∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4.
故選D.
試題3、(2013黃岡模擬)如圖,△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形,點P1、P2在函數(shù) 的圖象上,斜邊OA1、A1A2都在x軸上,則點A2的坐標是( )
A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( ,0)
【解答】解:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可設(shè)點P1(a,a),
又y= ,
則a2=4,a=±2(負值舍去),
再根據(jù)等腰三角形的三線合一,得A1的坐標是(4,0),
設(shè)點P2的坐標是(4+b,b),又y= ,則b(4+b)=4,
即b2+4b﹣4=0,
又∵b>0,∴b=2 ﹣2,
再根據(jù)等腰三角形的三線合一,
∴4+2b=4+4 ﹣4=4 ,
∴點A2的坐標是(4 ,0).
故選C.
三、反比例函數(shù)與直角三角形結(jié)合
試題1、(2015大連模擬)如圖,以Rt△AOB的直角頂點O為坐標原點,OA所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,C為AB的中點,將一個足夠大的三角板的直角頂點與C重合,并繞點C旋轉(zhuǎn),直角邊CM、CN與邊OB、OA相交于E、F.
(1)如圖1,當(dāng)∠ABO=45°時,請直接寫出線段CE與CF的數(shù)量關(guān)系: CE=CF .
(2)如圖2,當(dāng)∠ABO=30°時,請直接寫出CE與CF的數(shù)量關(guān)系: FC= EC .
(3)當(dāng)∠ABO=α時,猜想CE與CF的數(shù)量關(guān)系(用含有α的式子表示),并結(jié)合圖2證明你的猜想.
(4)若OA=6,OB=8,D為△AOB的內(nèi)心,結(jié)合圖3,判斷D是否在雙曲線y= 上,說明理由.
【解答】解:(1)如圖1,連接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四邊形OFCE共圓,
∵∠ABO=45°,C為AB的中點,
∴∠EOC=∠FOC=45°,
∴CE=CF,
故答案為:CE=CF.
(2)如圖2,連接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四邊形OFCE共圓,此圓為⊙G,設(shè)半徑為r,作GP⊥FC,連接GF,
∵∠ABO=30°,C為AB的中點,
∴∠BOC=30°,
∴∠FOC=60°,可得∠FGP=60°,
∴FC=2FP= r,
同理可得EC=r,
∴FC= EC.
故答案為:FC= EC.
(3))如圖2,連接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四邊形OFCE共圓,此圓為⊙G,設(shè)半徑為r,作GP⊥FC,連接GF,
∵∠ABO=α,C為AB的中點,
∴∠BOC=α,
∴∠FOC=90°﹣α,可得∠FGP=90°﹣α,
∴FC=2FP=2rsin(90°﹣α),
同理可得EC=2rsinα,
∴FC:EC=sin(90°﹣α):sinα,
∴FC= EC.
(4)如圖3,
∵OA=6,OB=8,
∴AB= = =10,
設(shè)OC為x,AC=6﹣x,
∵D為△AOB的內(nèi)心,
∴OE=x,BE=8﹣x,
∴8﹣x+6﹣x=10,
∴x=2,
∴點D(2,2).代入雙曲線y= 不成立,
∴D不在雙曲線y= 上,
四、反比例函數(shù)與等腰直角三角形結(jié)合
試題1、如圖,在平面直角坐標系中,點A1,A2,A3…都在x軸上,點B1,B2,B3…都在直線y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,則點B2015的坐標是( )
A. C.
解:∵OA1=1,∴點A1的坐標為(1,0),
∵△OA1B1是等腰直角三角形,
∴A1B1=1,∴B1(1,1),
∵△B1A1A2是等腰直角三角形,
∴A1A2=1,B1A2= ,
∵△B2B1A2為等腰直角三角形,
∴A2A3=2,∴B2(2,2),
同理可得,B3(22,22),B4(23,23),…Bn(2n﹣1,2n﹣1),
∴點B2015的坐標是(22014,22014).
故選:A.
試題2、(2015儀征市一模)如圖,點A是雙曲線y= 在第一象限上的一動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,點C在第二象限,隨著點A的運動,點C的位置也不斷的變化,但始終在一函數(shù)圖象上運動,則這個函數(shù)的解析式為 y=﹣ .
【解答】解:連結(jié)OC,作CD⊥x軸于D,AE⊥x軸于E,如圖,
設(shè)A點坐標為(a, ),
∵A點、B點是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y= 的交點,
∴點A與點B關(guān)于原點對稱,
∴OA=OB
∵△ABC為等腰直角三角形,
∴OC=OA,OC⊥OA,
∴∠DOC+∠AOE=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠AOE,
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE(AAS),
∴OD=AE= ,CD=OE=a,
∴C點坐標為(﹣ ,a),
∵﹣ a=﹣4,
∴點C在反比例函數(shù)y=﹣ 圖象上.
故答案為y=﹣ .
試題2、(2015潮陽區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的頂點A在x軸上,頂點C在y軸上,D是BC的中點,過點D的反比例函數(shù)圖象交AB于E點,連接DE.若OD=5,tan∠COD= .
(1)求過點D的反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△DBE的面積;
(3)x軸上是否存在點P使△OPD為直角三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
【解答】解:(1)∵四邊形OABC是矩形,
∴BC=OA,AB=OC,
∵tan∠COD= ,
∴設(shè)OC=3x,CD=4x,
∴OD=5x=5,
∴x=1,
∴OC=3,CD=4,
∴D(4,3),
設(shè)過點D的反比例函數(shù)的解析式為:y= ,
∴k=12,∴反比例函數(shù)的解析式為:y= ;
(2)∵點D是BC的中點,
∴B(8,3),
∴BC=8,AB=3,
∵E點在過點D的反比例函數(shù)圖象上,
∴E(8, ),
∴S△DBE= BDBE= =3;
(3)存在,
∵△OPD為直角三角形,
∴當(dāng)∠OPD=90°時,PD⊥x軸于P,
∴OP=4,
∴P(4,0),
當(dāng)∠ODP=90°時,
如圖,過D作DH⊥x軸于H,
∴OD2=OHOP,
∴OP= = .
∴P( ,O),
∴存在點P使△OPD為直角三角形,
∴P(4,O),( ,O).
試題3、(2015歷下區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(﹣2,0)、B(0,d)、C(﹣3,2).
(1)求d的值;
(2)將△ABC沿x軸的正方向平移a個單位,在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上.請求出這個反比例函數(shù)和此時直線B′C′的解析式;
(3)在(2)的條件下,直線B′C′交y軸于點G,作C′M⊥x軸于M.P是線段B′C′上的一點,若△PMC′和△PBB′面積相等,求點P坐標.
【解答】解:(1)作CN⊥x軸于點N.
在Rt△CNA和Rt△AOB中,
,
∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL),
則BO=AN=3﹣2=1,
∴d=1;
(2)設(shè)反比例函數(shù)為y= ,點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上,
設(shè)C′(a,2),則B′(a+3,1)
把點C′和B′的坐標分別代入y= ,得k=2a;k=a+3,
∴2a=a+3,a=3,
則k=6,反比例函數(shù)解析式為y= .
得點C′(3,2);B′(6,1);
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b,把C′、B′兩點坐標代入得 ,
解得: ;
∴直線C′B′的解析式為:y=﹣ ;
(3)連結(jié)BB′
∵B(0,1),B′(6,1),
∴BB′∥x軸,
設(shè)P(m, ),作PQ⊥C′M,PH⊥BB′
∴S△PC’M= ×PQ×C′M= ×(m﹣3)×2=m﹣3
S△PBB’= ×PH×BB′= ×( )×6=﹣m+6
∴m﹣3=﹣m+6
∴m=
∴P( , ).
試題4、(2015泰州校級一模)已知點A(m、n)是反比例函數(shù) (x>0)的圖象上一點,過A作AB⊥x軸于點B,P是y軸上一點,
(1)求△PAB的面積;
(2)當(dāng)△PAB為等腰直角三角形時,求點A的坐標;
(3)若∠APB=90°,求m的取值范圍.
【解答】解:(1)連接OA,
∵AB⊥x軸,
∴AB∥y軸,
∴S△PAB=S△POB,
∵點A(m、n)是反比例函數(shù) (x>0)的圖象上一點,
∴S△PAB=S△POB=2;
(2)若∠ABP=90°,則AB=OB,
則m=n,
∴m= ,
∵x>0,
∴m=2,
∴點A(2,2);
若∠PAB=90°,則PA=AB,同理可得點A(2,2);
若∠APB=90°,則AP=BP,
過點P作PC⊥AB于點C,則AC=BC=PC,
則點A(m,2m),
∴2m= ,
∵x>0,
∴m= ,
∴點A( ,2 );
綜上,點A的坐標為:(2,2)或( ,2 );
(3)∵∠APB=90°,
∴點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點,
由(2)可知當(dāng)x= 時,以AB為直徑的圓與y軸相切,當(dāng)x> 時,以AB為直徑的圓與y軸相離,
∴m的取值范圍為:0
五、反比例函數(shù)與全等三角形結(jié)合
試題1、2015韶關(guān)模擬)如圖,點A(2,2)在雙曲線y1= (x>0)上,點C在雙曲線y2=﹣ (x<0)上,分別過A、C向x軸作垂線,垂足分別為F、E,以A、C為頂點作正方形ABCD,且使點B在x軸上,點D在y軸的正半軸上.
(1)求k的值;
(2)求證:△BCE≌△ABF;
(3)求直線BD的解析式.
【解答】(1)解:把點A(2,2)代入y1= ,
得:2= ,
∴k=4;
(2)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=AB,∠ABC=90°,BD=AC,
∴∠EBC+∠ABF=90°,
∵CE⊥x軸,AF⊥x軸,
∴∠CEB=∠BFA=90°,
∴∠BCE+∠EBC=90°,
∴∠BCE=∠ABF,
在△BCE和△ABF中,
,
∴△BCE≌△ABF(AAS);
(3)解:連接AC,作AG⊥CE于G,如圖所示:
則∠AGC=90°,AG=EF,GE=AF=2,
由(2)得:△BCE≌△ABF,
∴BE=AF=2,CE=BF,
設(shè)OB=x,則OE=x+2,CE=BF=x+2,
∴OE=CE,
∴點C的坐標為:(﹣x﹣2,x+2),
代入雙曲線y2=﹣ (x<0)得:﹣(x+2)2=﹣9,
解得:x=1,或x=﹣5(不合題意,舍去),
∴OB=1,BF=3,CE=OE=3,
∴EF=2+3=5,CG=1=OB,B(﹣1,0),AG=5,
在Rt△BOD和Rt△CGA中,
,
∴Rt△BOD≌Rt△CGA(HL),
∴OD=AG=5,
∴D(0,5),
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
把B(﹣1,0),D(0,5)代入得: ,
解得:k=5,b=5.
∴直線BD的解析式為:y=5x+5.
試題2、(2015歷城區(qū)二模)如圖,一條直線與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點,與x軸交于點D,AC⊥x軸,垂足為C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及D點的坐標;
(2)點P是線段AD的中點,點E,F(xiàn)分別從C,D兩點同時出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CA,DC運動,到點A,C時停止運動,設(shè)運動的時間為t(s).
?、偾笞C:PE=PF.
?、谌簟鱌EF的面積為S,求S的最小值.
【解答】(1)解:把點A(1,4)代入y= 得:k=4,
∴反比例函數(shù)的解析式為:y= ;
把點B(4,n)代入得:n=1,
∴B(4,1)
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得: ,
解得:k=﹣1,b=5,
∴直線AB的解析式為:y=﹣x+5,
當(dāng)y=0時,x=5,
∴D點坐標為:(5,0);
(2)①證明:∵A(1,4),C(1,0 ),D(5,0),AC⊥x軸于C,
∴AC=CD=4,
∴△ACD為等腰直角三角形,
∴∠ADC=45°,
∵P為AD中點,
∴∠ACP=∠DCP=45°,CP=PD,CP⊥AD,
∴∠ADC=∠ACP,
∵點E,F(xiàn)分別從C,D兩點同時出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CA,DC運動,
∴EC=DF,
在△ECP和△FDP中, ,
∴△ECP≌△FDP(SAS),
∴PE=PF;
②解:∵△ECP≌△FDP,
∴∠EPC=∠FPD,
∴∠EPF=∠CPD=90°,
∴△PEF為等腰直角三角形,
∴△PEF的面積S= PE2,
∴△PEF的面積最小時,EP最小,
∵當(dāng)PE⊥AC時,PE最小,
此時EP最小值= CD=2,
∴△PEF的面積S的最小值= ×22=2.
試題3、(2015春淮陰區(qū)期末)已知邊長為4的正方形ABCD,頂點A與坐標原點重合,一反比例函數(shù)圖象過頂點C,動點P以每秒1個單位速度從點A出發(fā)沿AB方向運動,動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發(fā)沿正方形的邊DC﹣CB﹣BA方向順時針折線運動,當(dāng)點P與點Q相遇時停止運動,設(shè)點P的運動時間為t.
(1)求出該反比例函數(shù)解析式;
(2)連接PD,當(dāng)以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時,求點Q的坐標;
(3)用含t的代數(shù)式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積s,并指出相應(yīng)t的取值.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的邊長為4,
∴C的坐標為(4,4),
設(shè)反比例解析式為y=
將C的坐標代入解析式得:k=16,則反比例解析式為y= ; (2分)
(2)當(dāng)Q在DC上時,如圖所示:
此時△APD≌△CQB,
∴AP=CQ,即t=4﹣4t,解得t= ,
則DQ=4t= ,即Q1( ,4);
當(dāng)Q在BC邊上時,有兩個位置,如圖所示:
若Q在上邊,則△QCD≌△PAD,
∴AP=QC,即4t﹣4=t,解得t= ,
則QB=8﹣4t= ,此時Q2(4, );
若Q在下邊,則△APD≌△BQA,
則AP=BQ,即8﹣4t=t,解得t= ,
則QB= ,即Q3(4, );
當(dāng)Q在AB邊上時,如圖所示:
此時△APD≌△QBC,
∴AP=BQ,即4t﹣8=t,解得t= ,
因為0≤t≤ ,所以舍去.
綜上所述Q1( ,4); Q2(4, ),Q3(4, )
(3)當(dāng)0
當(dāng)1≤t≤2時,Q在BC上,則BP=4﹣t,CQ=4t﹣4,AP=t,
則s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣ APAD﹣ PBBQ﹣ DCCQ=16﹣ t×4﹣ (4﹣t)【4﹣(4t﹣4)}﹣ ×4(4t﹣4)═﹣2t2+2t+8
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