七年級(jí)數(shù)學(xué)下段考試卷及答案
面對(duì)七年級(jí)數(shù)學(xué)下段考試要有堅(jiān)韌的精神,撐過(guò)去就是康莊大道啊。愿你七年級(jí)數(shù)學(xué)考出好結(jié)果,以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的七年級(jí)數(shù)學(xué)下段考試卷,希望對(duì)大家有幫助!
七年級(jí)數(shù)學(xué)下段考試卷
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列長(zhǎng)度的各組線段,能組成直角三角形的是( )
A.12,15,18 B.12,35,36 C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4
2.下列實(shí)數(shù) ,﹣ ,0. , , ,( ﹣1)0,﹣ ,0.1010010001中,其中無(wú)理數(shù)共有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
3.如圖,直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周,原點(diǎn)滾到了點(diǎn)A,下列說(shuō)法正確的( )
A.點(diǎn)A所表示的是π
B.OA上只有一個(gè)無(wú)理數(shù)π
C.數(shù)軸上無(wú)理數(shù)和有理數(shù)一樣多
D.數(shù)軸上的有理數(shù)比無(wú)理數(shù)要多一些
4.如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F,則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°,則頂角是( )
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
6.在下列各組條件中,不能說(shuō)明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=EF,∠A=∠D
C.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E D.AB=DE,BC=EF,AC=DF
7.如圖,正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn),已知A、B是兩格點(diǎn),如果C也是圖中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有( )
A.4個(gè) B.6個(gè) C.8個(gè) D.10個(gè)
8.如圖,∠MON=30°,點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形,從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a1,第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a2,以此類(lèi)推.若OA1=1,則a2015=( )
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
9.如圖,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(其中P、Q不與端點(diǎn)重合),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,下列結(jié)論:(1)BP=CM;(2)△ABQ≌△CAP;(3)∠CMQ的度數(shù)始終等于60°;(4)當(dāng)?shù)?秒或第 秒時(shí),△PBQ為直角三角形.其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
10.如圖是一張足夠長(zhǎng)的矩形紙條ABCD,以點(diǎn)A所在直線為折痕,折疊紙條,使點(diǎn)B落在邊AD上,折痕與邊BC交于點(diǎn)E;然后將其展平,再以點(diǎn)E所在直線為折痕,使點(diǎn)A落在邊BC上,折痕EF交邊AD于點(diǎn)F.則∠AFE的大小是( )
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
二、填空題(每空2分,共16分)
11.近似數(shù)3.40×105精確到 位.
12.當(dāng)a2=64時(shí), = .
13.如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的長(zhǎng)等于 .
14.一個(gè)正數(shù)的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3,則這個(gè)數(shù)為 .
15.如圖,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,則∠EFC= °.
16.如圖,在△ABC和△BDE中,點(diǎn)C在邊BD上,邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠D=60°,∠ABE=28°,則∠ACB= .
17.如圖,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折,使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處;再將邊BC沿CF翻折,使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F,則線段B′F的長(zhǎng)為 .
18.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長(zhǎng)為 .
三、解答題(共10大題,共84分)
19.(1)計(jì)算:
(2)求x的值:5(x﹣1)2=20.
20.因式分解:
(1)3a5﹣12a4+9a3
(2)3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
21.如圖,OC是∠AOB的角平分線,P是OC上一點(diǎn).PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F(xiàn)是OC上的另一點(diǎn),連接DF,EF.求證:DF=EF.
22.如圖,正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1.
(1)在直線l上找一點(diǎn)P,使PB+PC的值最小;
(2)連接PA、PC,計(jì)算四邊形PABC的面積;
(3)若圖中的格點(diǎn)Q到直線BC的距離等于 ,則圖中所有滿足條件的格點(diǎn)Q有 個(gè).
23.已知a,b,c為△ABC的三條邊的長(zhǎng),且滿足b2+2ab=c2+2ac.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若a=6,b=5,求△ABC的面積.
24.如圖,∠ABC=90°,D、E分別在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn),F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.
(1)求證:∠FMC=∠FCM;
(2)AD與MC垂直嗎?并說(shuō)明理由.
25.仔細(xì)閱讀下面例題,解答問(wèn)題:
例題:已知關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.
解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得:x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴ ,解得:n=﹣7,m=﹣21.
∴另一個(gè)因式為(x﹣7),m的值為﹣21.
問(wèn)題:仿照以上方法解答下面問(wèn)題:
(1)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是(x+4),求另一個(gè)因式以及k的值.
(2)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式2x3+5x2﹣x+b有一個(gè)因式為x+2,求b的值.
26.如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,F(xiàn)為BC中點(diǎn),BE與DF,DC分別交于點(diǎn)G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)求證:BH=AC;
(2)求證:BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1,長(zhǎng)方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且 ,點(diǎn)P、Q分別是邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)①如圖2,在P、Q運(yùn)動(dòng)中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能,請(qǐng)求出PA的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
?、谌鐖D3,在BC上取一點(diǎn)E,使EC=5,那么當(dāng)△EPC為等腰三角形時(shí),求出PA的長(zhǎng).
28.【閱讀】如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,
∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,我們把這個(gè)操作過(guò)程記為FZ[θ,a].
【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[45°,3];
【嘗試】
(1)若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),求θ;
(2)經(jīng)過(guò)FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上,求出a的值;若點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部,直接寫(xiě)出a的取值范圍.
七年級(jí)數(shù)學(xué)下段考試卷答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列長(zhǎng)度的各組線段,能組成直角三角形的是( )
A.12,15,18 B.12,35,36 C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4
【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理.
【分析】驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方;應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系,確定最大邊后,再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系,進(jìn)而作出判斷即可.
【解答】解:A、因?yàn)?22+152≠182,所以不能組成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、因?yàn)?22+352≠362,所以不能組成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、因?yàn)?.32+0.42=0.52,所以能組成直角三角形,故選項(xiàng)正確;
D、因?yàn)?2+32≠42,所以不能組成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:C.
2.下列實(shí)數(shù) ,﹣ ,0. , , ,( ﹣1)0,﹣ ,0.1010010001中,其中無(wú)理數(shù)共有( )
A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)
【考點(diǎn)】無(wú)理數(shù).
【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的概念,一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念,有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng).即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).
【解答】解:無(wú)理數(shù)有: ,﹣ , 共有3個(gè).
故選B.
3.如圖,直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周,原點(diǎn)滾到了點(diǎn)A,下列說(shuō)法正確的( )
A.點(diǎn)A所表示的是π
B.OA上只有一個(gè)無(wú)理數(shù)π
C.數(shù)軸上無(wú)理數(shù)和有理數(shù)一樣多
D.數(shù)軸上的有理數(shù)比無(wú)理數(shù)要多一些
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸.
【分析】首先根據(jù)圓周長(zhǎng)公式求出圓的周長(zhǎng),然后結(jié)合數(shù)軸的特點(diǎn)即可確定A表示的數(shù).
【解答】解:A、∵圓的周長(zhǎng)為π,∴滾動(dòng)一圈的路程即π,∴點(diǎn)A所表示的是π,故選項(xiàng)正確;
B、數(shù)軸上不只有一個(gè)無(wú)理數(shù)π,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、數(shù)軸上既有無(wú)理數(shù),也有有理數(shù),故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、數(shù)軸上的有理數(shù)與無(wú)理數(shù)多少無(wú)法比較,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選A.
4.如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F,則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)已知條件“AB=AC,D為BC中點(diǎn)”,得出△ABD≌△ACD,然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F,推出△AOE≌△EOC,從而根據(jù)“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形,要由易到難,不重不漏.
【解答】解:∵AB=AC,D為BC中點(diǎn),
∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90°,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD;
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,AE=CE,
在△AOE和△COE中,
,
∴△AOE≌△COE;
在△BOD和△COD中,
,
∴△BOD≌△COD;
在△AOC和△AOB中,
,
∴△AOC≌△AOB;
故選:D.
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°,則頂角是( )
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系,三角形內(nèi)部,三角形的外部,三角形的邊上.根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成立,因而可分兩種情況進(jìn)行討論.
【解答】解:分兩種情況:
?、佼?dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)(如圖1),
∵∠ABD=28°,
∴頂角∠A=90°﹣28°=62°;
②當(dāng)高在三角形外部時(shí)(如圖2),
∵∠ABD=28°,
∴頂角∠CAB=90°+28°=118°.
故選D.
6.在下列各組條件中,不能說(shuō)明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F B.AC=DF,BC=EF,∠A=∠D
C.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E D.AB=DE,BC=EF,AC=DF
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)題目所給的條件結(jié)合判定三角形全等的判定定理分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解:A、AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F,可以利用AAS定理證明△ABC≌△DEF,故此選項(xiàng)不合題意;
B、AC=DF,BC=EF,∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEF,故此選項(xiàng)符合題意;
C、AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E,可以利用ASA定理證明△ABC≌△DEF,故此選項(xiàng)不合題意;
D、AB=DE,BC=EF,AC=DF可以利用SSS定理證明△ABC≌△DEF,故此選項(xiàng)不合題意;
故選:B.
7.如圖,正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn),已知A、B是兩格點(diǎn),如果C也是圖中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有( )
A.4個(gè) B.6個(gè) C.8個(gè) D.10個(gè)
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定.
【分析】根據(jù)AB的長(zhǎng)度確定C點(diǎn)的不同位置,由已知條件,利用勾股定理可知AB= ,然后即可確定C點(diǎn)的位置.
【解答】解:如圖,AB= = ,
∴當(dāng)△ABC為等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有8個(gè),
故選C.
8.如圖,∠MON=30°,點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形,從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a1,第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a2,以此類(lèi)推.若OA1=1,則a2015=( )
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3,以及a2=2a1,得出a3=4a1=4,a4=8a1=8,a5=16a1…進(jìn)而得出答案.
【解答】解:∵△A1B1A2是等邊三角形,
∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,
∴∠2=120°,
∵∠MON=30°,
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°,
又∵∠3=60°,
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°,
∴OA1=A1B1=1,
∴A2B1=1,
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形,
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°,
∵∠4=∠12=60°,
∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°,
∴a2=2a1,a3=4a1=4,
a4=8a1=8,a5=16a1,
以此類(lèi)推:a2015=22014.
故選B.
9.如圖,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)(其中P、Q不與端點(diǎn)重合),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,下列結(jié)論:(1)BP=CM;(2)△ABQ≌△CAP;(3)∠CMQ的度數(shù)始終等于60°;(4)當(dāng)?shù)?秒或第 秒時(shí),△PBQ為直角三角形.其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【分析】易證△ABQ≌△CAP,可得∠AQB=∠CPA,即可求得∠AMP=∠B=60°,易證∠CQM≠60°,可得CQ≠CM,根據(jù)t的值易求BP,BQ的長(zhǎng),即可求得PQ的長(zhǎng),即可解題.
【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
根據(jù)題意得:AP=BQ,
在△ABQ和△CAP中,
,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),(2)正確;
∴∠AQB=∠CPA,
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°,∠BAQ+∠B+∠AQB=180°,
∴∠AMP=∠B=60°,
∴∠QMC=60°,(3)正確;
∵∠QMC=60°,∠QCM≠60°,
∴∠CQM≠60°,
∴CQ≠CM,
∵BP=CQ,
∴CM≠BP,(1)錯(cuò)誤;
當(dāng)t= 時(shí),BQ= ,BP=4﹣ = ,
∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP•BQcos60°,
∴PQ= ,
∴△PBQ為直角三角形,
同理t= 時(shí),△PBQ為直角三角形仍然成立,(4)正確;
故選 C.
10.如圖是一張足夠長(zhǎng)的矩形紙條ABCD,以點(diǎn)A所在直線為折痕,折疊紙條,使點(diǎn)B落在邊AD上,折痕與邊BC交于點(diǎn)E;然后將其展平,再以點(diǎn)E所在直線為折痕,使點(diǎn)A落在邊BC上,折痕EF交邊AD于點(diǎn)F.則∠AFE的大小是( )
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AEB=45°,繼而得出∠AEC,再由折疊的性質(zhì)即可得到∠AFE的度數(shù).
【解答】解:以點(diǎn)A所在直線為折痕,折疊紙片,使點(diǎn)B落在AD上,折痕與BC交于E點(diǎn),∠AEB=45°,
∠FEC=∠FEA= =67.5°.
∵AF∥EC,
∴∠AFE=∠FEC=67.5°.
故選D.
二、填空題(每空2分,共16分)
11.近似數(shù)3.40×105精確到 千 位.
【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字.
【分析】近似數(shù)精確到哪一位,應(yīng)當(dāng)看末位數(shù)字實(shí)際在哪一位.
【解答】解:近似數(shù)3.40×105精確到千位.
故答案是:千.
12.當(dāng)a2=64時(shí), = ±2 .
【考點(diǎn)】立方根;算術(shù)平方根.
【分析】由于a2=64時(shí),根據(jù)平方根的定義可以得到a=±8,再利用立方根的定義即可計(jì)算a的立方根.
【解答】解:∵a2=64,
∴a=±8.
∴ =±2.
13.如圖,△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn).若AD=6,DE=5,則CD的長(zhǎng)等于 8 .
【考點(diǎn)】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線.
【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中,利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可.
【解答】解:如圖,∵△ABC中,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),DE=5,
∴DE= AC=5,
∴AC=10.
在直角△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,則根據(jù)勾股定理,得
CD= = =8.
故答案是:8.
14.一個(gè)正數(shù)的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3,則這個(gè)數(shù)為 81 .
【考點(diǎn)】平方根.
【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù),即可得到一個(gè)關(guān)于x的方程,即可求得x,進(jìn)而求得所求的正數(shù).
【解答】解:根據(jù)題意得:(﹣m﹣3)+(2m﹣3)=0,
解得:m=6,
則這個(gè)數(shù)是:(﹣3﹣6)2=81.
故答案是:81.
15.如圖,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,則∠EFC= 45 °.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=BE,然后求出△ABE是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠BAE=∠ABE=45°,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC,然后求出∠CBE,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF=CF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=EF,根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠BEF=∠CBE,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
【解答】解:∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∵BE⊥AC,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠BAE=∠ABE=45°,
又∵AB=AC,
∴∠ABC= = =67.5°,
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵EF= BC(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半),
∴BF=EF=CF,
∴∠BEF=∠CBE=22.5°,
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°.
故答案為:45.
16.如圖,在△ABC和△BDE中,點(diǎn)C在邊BD上,邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,∠D=60°,∠ABE=28°,則∠ACB= 46° .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得∠ACB與∠DBE的關(guān)系,根據(jù)三角形外角的性質(zhì),可得答案.
【解答】解:在△ABC和△DEB中,
,
∴△ABC≌△DEB (SSS),
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角,
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB,
∠ACB= ∠AFB=46°.
故答案為:46°.
17.如圖,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折,使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處;再將邊BC沿CF翻折,使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F,則線段B′F的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).
【分析】首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,然后求得△ECF是等腰直角三角形,進(jìn)而求得∠B′FD=90°,CE=EF= ,ED=AE= ,從而求得B′D=1,DF= ,在Rt△B′DF中,由勾股定理即可求得B′F的長(zhǎng).
【解答】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,
∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴EF=CE,∠EFC=45°,
∴∠BFC=∠B′FC=135°,
∴∠B′FD=90°,
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE,
∴AC•BC=AB•CE,
∵根據(jù)勾股定理求得AB=5,
∴CE= ,
∴EF= ,ED=AE= ,
∴DF=EF﹣ED= ,
∴B′F= .
故答案為: .
18.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則BD的長(zhǎng)為 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì),可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系,根據(jù)SAS,可得△BAD與△CAD′的關(guān)系,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得BD與CD′的關(guān)系,根據(jù)勾股定理,可得答案.
【解答】解:作AD′⊥AD,AD′=AD,連接CD′,DD′,如圖:
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD,
即∠BAD=∠CAD′,
在△BAD與△CAD′中,
,
∴△BAD≌△CAD′(SAS),
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ,
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ,
∴BD=CD′= ,
故答案為: .
三、解答題(共10大題,共84分)
19.(1)計(jì)算:
(2)求x的值:5(x﹣1)2=20.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;平方根.
【分析】此題涉及有理數(shù)的乘方、平方根、立方根的求法,在計(jì)算時(shí),需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果即可.
【解答】解:(1)
=﹣2+3﹣8
=﹣7
(2)∵5(x﹣1)2=20,
∴(x﹣1)2=4,
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2,
解得x=3或x=﹣1.
20.因式分解:
(1)3a5﹣12a4+9a3
(2)3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
【考點(diǎn)】因式分解﹣分組分解法;提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】(1)利用提供因式法和十字相乘分式分解因式;
(2)利用提公因式法和分組分解法分解因式.
【解答】解:(1)原式=3a3(a2﹣4a+3)
=3a3(a﹣3)(a﹣1).
(2)原式=3(a2﹣2ab+b2﹣4c2)
=3[(a﹣b)2﹣4c2]
=3(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c).
21.如圖,OC是∠AOB的角平分線,P是OC上一點(diǎn).PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F(xiàn)是OC上的另一點(diǎn),連接DF,EF.求證:DF=EF.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】先根據(jù)點(diǎn)P在∠AOB的角平分線OC上,PE⊥OB可求出PD=PE,∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PEO=90°,由全等三角形的判定定理可得出△DPF≌△EPF,進(jìn)而可得出答案.
【解答】證明:∵點(diǎn)P在∠AOB的角平分線OC上,PE⊥OB,PD⊥AO,
∴PD=PE,∠DOP=∠EOP,∠PDO=∠PEO=90°,
∴∠DPF=90°﹣∠DOP,∠EPF=90°﹣∠EOP,
∴∠DPF=∠EPF,
在△DPF和△EPF中
(SAS),
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF.
22.如圖,正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1.
(1)在直線l上找一點(diǎn)P,使PB+PC的值最小;
(2)連接PA、PC,計(jì)算四邊形PABC的面積;
(3)若圖中的格點(diǎn)Q到直線BC的距離等于 ,則圖中所有滿足條件的格點(diǎn)Q有 16 個(gè).
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題;點(diǎn)到直線的距離.
【分析】(1)找到B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,再連接B′C交直線l于點(diǎn)P,即可得出答案;
(2)直接將四邊形分割為兩個(gè)三角形,進(jìn)而求出其面積;
(3)利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出平行于直線BC且到直線BC的距離為 的直線,即可得出答案.
【解答】解:(1)如圖所示:點(diǎn)P即為所求;
(2)四邊形PABC的面積為: ×3×5+ ×4×1=9.5;
(3)圖中所有滿足條件的格點(diǎn)Q有:16個(gè).
故答案為:16.
23.已知a,b,c為△ABC的三條邊的長(zhǎng),且滿足b2+2ab=c2+2ac.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)若a=6,b=5,求△ABC的面積.
【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.
【分析】(1)由已知條件得出b2﹣c2+2ab﹣2ac=0,用分組分解法進(jìn)行因式分解得出(b﹣c)(b+c+2a)=0,得出b﹣c=0,因此b=c,即可得出結(jié)論;
(2)作△ABC底邊BC上的高AD.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=DC= BC=3,利用勾股定理求出AD= =4,再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【解答】解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下:
∵a,b,c為△ABC的三條邊的長(zhǎng),b2+2ab=c2+2ac,
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0,
因式分解得:(b﹣c)(b+c+2a)=0,
∴b﹣c=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)如圖,作△ABC底邊BC上的高AD.
∵AB=AC=5,AD⊥BC,
∴BD=DC= BC=3,
∴AD= =4,
∴△ABC的面積= BC•AD= ×6×4=12.
24.如圖,∠ABC=90°,D、E分別在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn),F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.
(1)求證:∠FMC=∠FCM;
(2)AD與MC垂直嗎?并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE,DF=AF=EF,進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM(AAS),即可得出答案;
(2)由(1)知,∠MFC=90°,F(xiàn)D=EF,F(xiàn)M=FC,即可得出∠FDE=∠FMC=45°,即可理由平行線的判定得出答案.
【解答】(1)證明:∵△ADE是等腰直角三角形,F(xiàn)是AE中點(diǎn),
∴DF⊥AE,DF=AF=EF,
又∵∠ABC=90°,
∠DCF,∠AMF都與∠MAC互余,
∴∠DCF=∠AMF,
在△DFC和△AFM中,
,
∴△DFC≌△AFM(AAS),
∴CF=MF,
∴∠FMC=∠FCM;
(2)AD⊥MC,
理由:由(1)知,∠MFC=90°,F(xiàn)D=FA=FE,F(xiàn)M=FC,
∴∠FDE=∠FMC=45°,
∴DE∥CM,
∴AD⊥MC.
25.仔細(xì)閱讀下面例題,解答問(wèn)題:
例題:已知關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.
解:設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得:x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴ ,解得:n=﹣7,m=﹣21.
∴另一個(gè)因式為(x﹣7),m的值為﹣21.
問(wèn)題:仿照以上方法解答下面問(wèn)題:
(1)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式2x2+3x﹣k有一個(gè)因式是(x+4),求另一個(gè)因式以及k的值.
(2)已知關(guān)于x的多項(xiàng)式2x3+5x2﹣x+b有一個(gè)因式為x+2,求b的值.
【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等;解二元一次方程組.
【分析】(1)設(shè)另一個(gè)因式是(2x+b),則(x+4)(2x+b)=2x2+bx+8x+4b=2x2+(b+8)x+4b=2x2+3x﹣k,根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求得b和k的值;
(2)設(shè)另一個(gè)因式是(2x2+mx+n),利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開(kāi),然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求出b的值即可得解.
【解答】解:(1)設(shè)另一個(gè)因式是(2x+b),則
(x+4)(2x+b)=2x2+bx+8x+4b=2x2+(b+8)x+4b=2x2+3x﹣k,
則 ,
解得: .
則另一個(gè)因式是:2x﹣5,k=20.
(2)設(shè)另一個(gè)因式是(2x2+mx+n),則
(x+2)(2x2+mx+n)=2x3+(m+4)x2+(2m+n)x+2n=2x3+5x2﹣x+b,
則 ,
解得 .
故b的值是﹣6.
26.如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,F(xiàn)為BC中點(diǎn),BE與DF,DC分別交于點(diǎn)G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)求證:BH=AC;
(2)求證:BG2﹣GE2=EA2.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根據(jù)ASA證出△DBH≌△DCA即可;
(2)根據(jù)DB=DC和F為BC中點(diǎn),得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根據(jù)BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.
【解答】證明:(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC
∴DB=DC,
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°,
∴∠HBD=∠ACD,
∵在△DBH和△DCA中,
,
∴△DBH≌△DCA(ASA),
∴BH=AC.
(2)連接CG,
由(1)知,DB=CD,
∵F為BC的中點(diǎn),
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴△ABE≌△CBE,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG,
∴BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1,長(zhǎng)方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且 ,點(diǎn)P、Q分別是邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)①如圖2,在P、Q運(yùn)動(dòng)中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能,請(qǐng)求出PA的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
?、谌鐖D3,在BC上取一點(diǎn)E,使EC=5,那么當(dāng)△EPC為等腰三角形時(shí),求出PA的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)由條件可求得AB=4,BC=6,由勾股定理可求出BD的長(zhǎng);
(2)①由題可知只能有∠QPC為直角,當(dāng)PQ=PC時(shí),可證得Rt△PDC≌Rt△QAP,可求得AP的長(zhǎng);②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.
【解答】解:
(1)如圖1,連接BD,
∵ ,
∴AB=4,BC=6,
則在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD= =2 ;
(2)①能,AP=4,理由如下:
如圖2,由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角,所以只有∠QPC=90°,則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD,
∴∠QPA=∠PCD,
當(dāng)PQ=PC時(shí),
在Rt△APQ和Rt△DCP中
∴△APQ≌△DCP(AAS),
∴AP=CD=4,
故在P、Q運(yùn)動(dòng)中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形,此時(shí)AP=4;
?、诋?dāng)PC=EC=5時(shí),在Rt△PCD中,CD=4,PC=EC=5,由勾股定理可求得PD=3,所以AP=AB﹣PD=3,
當(dāng)PC=PE=5時(shí),如圖3,過(guò)P作PF⊥BC交BC于點(diǎn)F,則FC=EF=PD= EC=2.5,所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5,
當(dāng)PE=EC=5時(shí),如圖4,過(guò)E作EH⊥AD于點(diǎn)H,由可知AH=BE=1,在Rt△EHD中,EH=AB=4,EP=5,由勾股定理可得HP=3,所以AP=AH+PH=1+3=4,
綜上可知當(dāng)△EPC為等腰三角形時(shí),求出PA的長(zhǎng)為3、3.5或4.
28.【閱讀】如圖1,四邊形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,
∠AOC=∠BCO=90°,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分,直線l與OC所成的角設(shè)為θ,將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,我們把這個(gè)操作過(guò)程記為FZ[θ,a].
【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[45°,3];
【嘗試】
(1)若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)(如圖2),求θ;
(2)經(jīng)過(guò)FZ[45°,a]操作,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上,求出a的值;若點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部,直接寫(xiě)出a的取值范圍.
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.
【分析】(1)先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD,故可得出CD=FD,即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn),由折疊可知,OD=OC,故OD=OC=CD,△OCD為等邊三角形,∠COD=60°,根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)點(diǎn)E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l,根據(jù)由折疊可知,OD=OC=3,DE=BC=2.再由θ=45°,AB⊥直線l,得出△ADE為等腰直角三角形,故可得出OA的長(zhǎng),由此可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)連接CD并延長(zhǎng),交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
在△BCD與△AFD中,
,
∴△BCD≌△AFD(ASA).
∴CD=FD,即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn),
∴OD= CF=CD.
又由折疊可知,OD=OC,
∴OD=OC=CD,
∴△OCD為等邊三角形,∠COD=60°,
∴θ= ∠COD=30°;
(2)∵點(diǎn)E四邊形0ABC的邊AB上,
∴AB⊥直線l
由折疊可知,OD=OC=3,DE=BC=2.
∵θ=45°,AB⊥直線l,
∴△ADE為等腰直角三角形,
∴AD=DE=2,
∴OA=OD+AD=3+2=5,
∴a=5;
由圖可知,當(dāng)0