奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽因式分解
奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽因式分解
因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆向運(yùn)算,是代數(shù)恒等變形的基礎(chǔ),體現(xiàn)了一種化歸的思想.提取公因式法、公式法、二次三項(xiàng)式的 十字相乘法 、分組分解法是因式分解的基本方法,下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽因式分解，一起來看看吧。
奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽因式分解十二種方法
1、提公因法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考題)
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、應(yīng)用公式法
由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考題)
解：a+4ab+4b=(a+2b)
3、分組分解法
要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
對(duì)于mx+px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x-19x-6
分析：1-3
72
2-21=-19
解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項(xiàng)法
可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)
7、換元法
有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x
=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6
=x[2(y-2)-y-6]
=x(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x++2)(2x+-5)
=(x+2x+1)(2x-5x+2)
=(x+1)(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x,x,x,……x,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為，-3，-2，1
則2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、圖象法
令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x,x,x,……x，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例9、因式分解x+2x-5x-6
解：令y=x+2x-5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2
則x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列
解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解：令x=2，則x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7
注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值
則x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數(shù)法
首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。 解：設(shè)x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
所以解得
則x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽因式分解練習(xí)
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