第一學期高二數(shù)學期中題目
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高二上學期數(shù)學期中試題文科試卷
一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合M={x|2x 1}，N={x|-2 x 2}，則 ( )
A.[-2，1] B.[0，2] C.(0，2] D.[-2，2]
2.“x 2”是“ ”的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知 ，b=20.3，c=0.32，則a，b，c三者的大小關系是( )
A.b c a B.b a c C.a b c D.c b a
4.2路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，小明到乘車點的時刻是隨機的，則他候車時間不超過兩分鐘的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知高一(1)班有48名學生，班主任將學生隨機編號為01，02，……，48，用系統(tǒng)抽樣方法，從中抽8人.若05號被抽到了，則下列編號的學生被抽到的是( )
A.16 B.22 C.29 D.33
6.直線2x+3y-9=0與直線6x+my+12=0平行，則兩直線間的距離為( )
A. B. C.21 D.13
7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中每一個小方格均為正方形，且邊長為1，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
8.在△ABC中， ，則( )
A. B.
C. D.
9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為8，則判斷框內
可填入的條件是( )
A.s≤2524? B.s≤56?
C.s≤1112? D.s≤34?
10.已知a，b R，且 ，則 的最小值為( )
A. B.4
C. D.3
11.已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱錐的體積為 ，則該球的體積為( )
A.64 π B.8 π
C.24π D.6π
12.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足： ，則函數(shù) 的所有零點之和為( )
A. B.
C. D.
二、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13.在等比數(shù)列{an}中，已知 =8，則 =__________
14. 已知變量x,y滿足約束條件 ，則目標函數(shù)z=2x y的最大值是________
15.將函數(shù)f(x)=sin( 2x)的圖象向左平移 個長度單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間是__________
16.由直線x+2y 7=0上一點P引圓x2+y2 2x+4y+2=0的一條切線，切點為A，則|PA|的最小值為__________
二.解答題:共6小題,共70分.解答題應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17.(本小題滿分10分)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面積.
18.(本小題滿分12分)對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的
分組 頻數(shù) 頻率
[10，15) 10 0.25
[15，20) 25 n
[20，25) m p
[25，30) 2 0.05
合計 M 1
統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：
(1)求出表中M，p及圖中a的值;
(2)若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[15，20)內的人數(shù);
(3)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20，25)內的概率.
19.(本小題滿分12分)在直三棱柱ABC 中, 平面 ,其垂足 在直線 上.
(1)求證: ;
(2)若 P為AC的中點,求P
到平面 的距離.
20.(本小題滿分12分)設數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn= ，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列{1an}的前n項和為Tn，求證： Tn<1.
21.(本小題滿分12分)已知圓C經(jīng)過原點O(0，0)且與直線y=2x 8相切于點P(4，0).
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l經(jīng)過點(4, 5)，且與圓C相交于M，N兩點，若|MN|=2，求出直線l的方程.
22.(本小題滿分12分)已知 .
(1)若 ，求t的值;
(2)當 ，且 有最小值2時，求 的值;
(3)當 時，有 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
文科數(shù)學試卷答案
一. 選擇題(共12小題)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A A C B B C C C B C
二、填空題
13. 4 14.2
15. 16.
二.解答題(共6小題)
17.解：(1)∵△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，
∴cosC= ，∵0
(2)∵c= ，a2+b2=10， ，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
即7=10﹣ab，解得ab=3，
∴△ABC的面積S= = = .(10分)
18. 解：(1)由分組[10，15)內的頻數(shù)是10，頻率是0.25知， ，所以M=40.
因為頻數(shù)之和為40，所以 .
因為a是對應分組[15，20)的頻率與組距的商，所以 .(4分)
(2)因為該校高三學生有360人，分組[15，20)內的頻率是0.625，
所以估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內的人數(shù)為360×0.625=225人.(7分)
(3)這個樣本參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生共有3+2=5人
設在區(qū)間[20，25)內的人為{a1，a2，a3}，在區(qū)間[25，30)內的人為{b1，b2}.
則任選2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)10種情況，(9分)
而兩人都在[20，25)內共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)3種情況，
至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20，25)內的概率為 .(12分)
19.解：
(4分)
則P到平面 距離為 (12分)
20.解： (1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2).從而a2=2a1，a3=2a2=4a1.
又因為a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，即a1+a3=2(a2+1)，所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2.
所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
故an=2n.(6分)
(2)由(1)得1an=12n，所以Tn=12+122+…+12n=12[1-(12)n]1-12=1-12n.
由1-12n.在自然數(shù)集上遞增，可得n=1時取得最小值 ，
且1-12n<1，
則 ≤Tn<1.(12分)
21.解：(1)由已知，得圓心在經(jīng)過點P(4，0)且與y=2x﹣8垂直的直線 上，它又在線段OP的中垂線x=2上，
所以求得圓心C(2，1)，半徑為 .
所以圓C的方程為(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.(6分)
(2)①當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為 ，即 .
因為|MN|=2，圓C的半徑為 ，所以圓心到直線的距離d=2
,解得 ，所以直線 ,
?、诋斝甭什淮嬖跁r，即直線l:x=4，符合題意
綜上直線l為 或x=4(12分)
23.解：(1)
即 (2分)
(2) ，
又 在 單調遞增，
當 ，解得
當 ，
解得 (舍去)
所以 (7分)
(3) ，即
， ， ， ，
，依題意有
而函數(shù)
因為 ， ，所以 .(12分)
高二上學期數(shù)學(文)期中試題
第I卷 (選擇題, 共60分)
一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.拋物線的準線方程為
A. B. C. D.
2.已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓
的另一個焦點在邊上，則的周長是
A. 8 B. 12 C.16 D.
3. 圓與圓的位置關系是
A. 內切 B. 外切 C. 相離 D. 相交
4. 若橢圓的弦被點平分，則此弦所在的直線方程為
5.已知直線與平行，則的值是
A. 0或1 B.1或 C.0或 D.
6.過拋物線的焦點,且傾斜角為的直線交拋物線于不同的兩點、,則
弦長的值為
A.2 B.1 C. D.4
7.設經(jīng)過點的等軸雙曲線的焦點為，此雙曲線上一點滿足
, 則的面積為
A. B. C. D.
8.已知直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則的取值范圍為
A. B. C. D.
9.若橢圓的左焦點為,為原點，點是橢圓上的任意一點,則
的最大值為
A. 2 B. 3 C. 6 D.8
10.在正中，、邊上的高分別為、，則以、為焦點，且過
、的橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的值為
A. B. 1 C. D. 2
11.已知拋物線的焦點為,為原點，點是拋物線的準線上的一動點，
點在拋物線上，且，則的最小值為
A. B. C. D.
12.已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點，為拋物線上的任意一點，過點
作圓的切線，切點分別為，圓心為,則四邊形
的面積最小值為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非選擇題, 共90分)
二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應的位置上.)
13. 已知實數(shù)滿足，若，則的最大值是 .
14. 與雙曲線有相同的漸近線，并且過點的雙曲線的標準方程
是 .
15. 若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是 .
16.已知雙曲線的左、右頂點分別為、，是上
的一點，為等腰三角形，且外接圓面積為，則雙曲線的離心率
為 .
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
17. (本題滿分10分)
已知，，.
(Ⅰ)求過點且與直線垂直的直線方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點的直線把的面積分割成兩部分，求直線的方程.
18. (本題滿分12分)
已知圓過點，圓心.
(Ⅰ)求圓的標準方程;
(Ⅱ)如果過點且斜率為的直線與圓沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.
19. (本題滿分12分)
已知橢圓的焦點是雙曲線的頂點，雙曲線的焦點是橢圓的頂點.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于的一點，
求證：直線和直線的斜率之積為定值.
20. (本題滿分12分)
已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸正半軸上，直線與拋物線相切.
(Ⅰ)求拋物線的標準方程;
(Ⅱ)若斜率為2的直線與拋物線交于、兩點，，求直線的方程.
21. (本題滿分12分)
已知橢圓的左右焦點分別為，點為橢圓的一個
短軸頂點，.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若經(jīng)過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右頂點，
求面積的最大值.
22. (本題滿分12分)
曲線：，直線關于直線對稱的直線為，
直線與曲線分別交于點、和、，記直線的斜率為.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)當變化時，試問直線是否恒過定點? 若恒過定點，求出該定點坐標;
若不恒過定點，請說明理由.
答案
一.選擇題
DCBBC DADCA BD
二.填空題
高二文科數(shù)學上學期期中試題
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題所給的四個答案中有且只有
一個答案是正確的.)
1.已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z)，則A中元素的個數(shù)為( )
A.9 B.8 C.5 D.4
2.在等差數(shù)列 中，已知 ，則該數(shù)列前11項和 =( )
A.48 B. 68 C.88 D.176
3.函數(shù)f(x)= 的圖象大致為( )
A. B.
C. D
4.已知向量 ， 滿足| |=1， =﹣1，則 •(2 )=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
5.已知△ABC的三邊長成公比為 的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為( )
A. B. C. D.
6. 已知 ，則函數(shù) 的最大值是( )
. . . .
7.鈍角三角形ABC的面積是 ，AB=1，BC= ，則 AC=( )
A. 1 B. 2 C. D. 5
8.設a，b為空間的兩條直線，α，β為空間的兩個平面，給出下列命題：
?、偃鬭∥α，a∥β，則α∥β;②若a⊥α，a⊥β，則α∥β;
?、廴鬭∥α，b∥α，則a∥b;④若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
上述命題中，所有正確命題的個數(shù)是 ( )
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
9.直線 關于直線 對稱的直線方程為( )
A. B. C. D.
10.已知等差數(shù)列 的公差不為零， ，且 成等比數(shù)列，則數(shù)列 的公差等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.下列函數(shù)中，周期為 ，且在 上單調遞增的奇函數(shù)是 ( )
A. B.
C. D.
12.設 ，對于使 恒成立的所有常數(shù) 中，我們把 的最大值 叫做 的下確界.若 ，且 ，則 的下確界為( )
. . . .
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)
13.設{an}是等差 數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項公式為_______________
14.不等式 的解集是________________________________
15.設函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣ )(ω>0)，若f(x)≤f( )對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為 .
16.某企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種材料.生產一件產品A需要甲材料30kg，乙材料5kg，用5個工時;生產一件產品B需要甲材料20kg，乙材料10kg，用4個工時.生產一件產品A的利潤為60元，生產一件產品B的利潤為80元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料300kg，乙材料90kg，則在不超過80個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為 _______元.
三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程.)
17. (本小題滿分10分)
在 中，角 所對的邊分別為 ，且 ， ， .
(1)求 的值;(2)求 的面積.
18. (本小題滿分12分)
設數(shù)列 的前 項和為 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，求數(shù)列 的前 項和 .
19. (本小題滿分12分)
若直線l：x-y+1=0與圓C：(x-a)2+y2=2有公共點，
(1)若直線l與圓C相切時，求a的值
(2)若直線l與圓C相交弦長為 時，求a的值
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ( ),(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)若 時，不等式 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍;
21(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)若 的解集為 ，求 ， 的值;
(2) 當 時，解關于 的不等式 (結果用 表示).
22. (本小題滿分12分)
已知數(shù)列 中，其前 項和 滿足 ( ).
(1)求證：數(shù)列 為等比數(shù)列，并求 的通項公式;
(2)設 ， 求數(shù)列 的前 項和 ;
期中考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B A C C C D B D D
13.an=6n-3 14.{x|x<3或x>=4} 15.2/3 16.840
17、解：(1) ， …………………………………2分
………………………5分 (2)
…………… ………8分
S=1/2absinc=根號7/4 …………… ………10分
18.(本題滿分12分)
解：(Ⅰ)當 時， ………………………1分
當 時， ………………………5分
也適合上式，所以 ………………………6分( 未檢驗扣1分)
(Ⅱ) 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列
………………………7分
………………………8分
………………………12分(求和算對一個給2分)
19.(1)a=1或a=-3 (2)a=-1/2或a=-3/2
20.解：(1)由已知得到： = ---2分
令t=cosx,則t ,函數(shù)f(x)化為： --------4分
所以函數(shù)f(x)的值域為： ------------------------6分
(2)由于 ，根據(jù)第(1)小題得到：f(x)的最大值為：-3
-------------------------------------------9分
解得： 或者 ---------12分
21、解：(1)因為 的解集為 ，
所以 的兩個根為 和 ， …………………………………2分
所以 ，解得 . ……………… …………4分
(2)當 時， 即 ，
所以 ， ……………… ……………5分
當 時， ; ……………… ………………7分
當 時， ; ……………… ………9分
當 時， . ……………… …………………11分
綜上，當 時，不等式 的解集為 ;
當 時 ，不等式 的解集為 ;
當 時，不等式 的解集為 . …………………12分
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