2017年高考全國Ⅱ卷文數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅱ卷文數(shù)試題解析版
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設(shè)集合則
A. B. C. D.
【答案】A
2.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意，故選B.
【考點】復(fù)數(shù)運算
【名師點睛】首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為
3.函數(shù)的最小正周期為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意，故選C.
【考點】正弦函數(shù)周期
【名師點睛】函數(shù)的性質(zhì)
(1).
(2)周期
(3)由 求對稱軸
(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間;
4.設(shè)非零向量，滿足則
A. B. C. ∥ D.
【答案】A
5.若，則雙曲線的離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意，因為，所以，則，故選C.
【考點】雙曲線離心率
【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.
6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為
A. B. C. D.
【答案】B
7.設(shè)滿足約束條件 ,則的最小值是
A. B. C. D
【答案】A
繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點 處取得最小值 .故選A.
【考點】線性規(guī)劃
【名師點睛】點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.
8.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是
A. B. C. D.
【答案】D
9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則
A.乙可以知道兩人的成績 B.丁可能知道兩人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
【答案】D
【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D.
【考點】推理
【名師點睛】推理實際考查數(shù)據(jù)處理能力，從眾多數(shù)據(jù)中，挑選關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行分類討論，一般利用反證法、類比法、分析法得到結(jié)論.
10.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.
11.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為
A. B. C. D.
【答案】D
12.過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點(在軸上方)， 為的準(zhǔn)線，點在上且,則到直線的距離為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得
所以，因為，所以，因為，所以
所以到的距離為
【考點】直線與拋物線位置關(guān)系
【名師點睛】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計算弦長;涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算;涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點弦問題往往利用點差法.
二、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.函數(shù)的最大值為 .
【答案】
14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,
則
【答案】12
【解析】
【考點】函數(shù)奇偶性
【名師點睛】(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.
(2)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.
15.長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為
【答案】
【解析】球的直徑是長方體的體對角線，所以
【考點】球的表面積
【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.
16.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則
【答案】
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(12分)
已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，
(1)若 ，求的通項公式;
(2)若，求.
【答案】();()當(dāng)時，.當(dāng)時，.
【解析】試題分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式，表示條件，得關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組得公比，代入等比數(shù)列通項公式即可，(2)由等比數(shù)列前三項的和求公比，分類討論，求公差，再根據(jù)等差前三項求和.
試題解析：(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，則,.由得
d+q=3.
18.(12分)
如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面 ,
(1)證明：直線平面;
(2)若面積為，求四棱錐的體積.
【答案】()見解析()
(2)取AD的中點M，連結(jié)PM，CM，由及BCAD，ABC=90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.
因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PMAD，PM底面ABCD，因為，所以PMCM.
設(shè)BC=x，則CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中點N，連結(jié)PN，則PNCD，所以
因為PCD的面積為，所以
，
解得x=-2(舍去)，x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，
所以四棱錐P-ABCD的體積.
【考點】線面平行判定定理，面面垂直性質(zhì)定理，錐體體積
【名師點睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.
(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
19.(12分)
海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg), 其頻率分布直方圖如下：
記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計A的概率;
填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行較。
附：
P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)0.62.(2)有把握(3)新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法
試題解析：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62
因此，事件A的概率估計值為0.62.
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2=
由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).
(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.
【考點】頻率分布直方圖
【名師點睛】(1)頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)概率，所有小長方形面積之和為1;
(2)頻率分布直方圖中均值等于組中值與對應(yīng)概率乘積的和
(3)均值大小代表水平高低，方差大小代表穩(wěn)定性
20.(12分)
設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C 上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點在直線上，且.證明過點P且垂直于OQ的直線 過C的左焦點F.
【答案】(1)(2)見解析
21.(12分)
設(shè)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍.
【答案】()在 和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增()
【解析】
試題分析：(1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間(2)對分類討論，當(dāng)a≥1時，，滿足條件;當(dāng)時，取，當(dāng)0
當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex，h’(x)= -xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，+∞)單調(diào)遞減，而h(0)=1，
故h(x)≤1，所以
f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1
當(dāng)00(x>0)，所以g(x)在在[0，+∞)單調(diào)遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1
當(dāng)0
則
當(dāng)時，取
綜上，a的取值范圍[1，+∞)
【考點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立
【名師點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。
(1)M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線上，求面積的最大值。
【答案】(1);
(2) 。
(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知,于是面積
當(dāng)時，S取得最大值。
所以面積的最大值為。
【考點】 圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程;三角形面積的最值。
【名師點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用。重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解。要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程。
23.[選修4-5：不等式選講](10分)
已知。證明：
(1);
(2)。
【答案】(1)證明略;
(2)證明略。
(2)因為
所以，因此。
【考點】 基本不等式;配方法。
【名師點睛】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題。若不等式恒等變形之后若與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法。
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