第二次數(shù)學(xué)危機(jī)論文
數(shù)學(xué)危機(jī)是數(shù)學(xué)在發(fā)展中種種矛盾， 數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享第二次數(shù)學(xué)危機(jī)論文，歡迎閱讀。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)論文篇一
同學(xué)們剛開始學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候想必對這個(gè)問題感到困惑過：“無窮小量究竟是不是零?”比如求f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)，先取一個(gè)不為0的x的增量Δx (Δx無窮小)，則f′(x)=■=■=2x+Δx;然后令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x。既然之前能夠作為除數(shù)，說明Δx≠0;但最后又令Δx=0，那Δx究竟是什么呢?
17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲在同一時(shí)期各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分，微積分成為了重要的數(shù)學(xué)工具。但他們的理論都是不嚴(yán)格的，對作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用是混亂的，始終無法就“無窮小量是不是零”作出明確回答。因此微積分從誕生起就遭到了一些學(xué)者的反對與攻擊，例如法國著名數(shù)學(xué)家羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集。”其中攻擊得最猛烈的是貝克萊。
貝克萊是18世紀(jì)的英國哲學(xué)家，著名哲學(xué)命題“存在即是被感知”就是他提出的。1734年，他署名“渺小的哲學(xué)家”出版了一本小冊子――《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》。在這本小冊子中，他指責(zé)牛頓的微積分理論是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒是零，一會(huì)兒又不是零，于是貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。
這就是數(shù)學(xué)史上喧囂一時(shí)的“貝克萊悖論”。由于這一悖論揭示出了早期微積分基礎(chǔ)中一直回避的“邏輯丑聞”，因而在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決問題，但都沒有獲得成功。直到19世紀(jì)20年代，法國數(shù)學(xué)家柯西在這個(gè)問題上邁出了第一大步。他在1821年出版的《代數(shù)分析教程》中從變量出發(fā)，抓住極限的概念，指出無窮小量不是固定的量而是以零為極限的變量，給出了關(guān)于無窮小量的比較明確的定義。不過，由于當(dāng)時(shí)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論尚未建立起來，所以柯西的極限理論也還是不完善的。
19世紀(jì)70年代初，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人建立了實(shí)數(shù)理論，并在此基礎(chǔ)上建立了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論。由此，沿著柯西開辟的道路，眾多數(shù)學(xué)家一同完成了微積分理論的邏輯奠基工作。
微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了關(guān)于“無窮小量是否為零”的爭論局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的圓滿解決。
親和數(shù)
數(shù)字之間也有“好朋友”，這是畢達(dá)哥拉斯的重大發(fā)現(xiàn)。如284和220就是一對“好朋友”，因?yàn)?84的所有真因子之和等于220，而220的所有真因子之和又等于284，即284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110，220=1+2+4+71+142。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為這象征著友誼，因此把這樣的數(shù)叫做“親和數(shù)”。
尋找親和數(shù)十分不容易。在畢達(dá)哥拉斯找到了第一對親和數(shù)之后，直到兩千多年后的1636年，才由法國“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬找到了第二對：17296=24×23×47，18416=24×1151。
迄今為止，人們找到了不下千對的親和數(shù)，如1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6348等。你要不要也來找找看?
羅密歐的第二次旅程
在前幾期雜志中我們曾經(jīng)幫羅密歐找到了一條通往朱麗葉的道路，現(xiàn)在羅密歐又碰到了難題，我們再一起來幫他想想辦法吧。
羅密歐要以盡可能少的轉(zhuǎn)彎經(jīng)過每個(gè)白格，一個(gè)白格可以經(jīng)過兩次，但不能重復(fù)經(jīng)過同一個(gè)格子的同一個(gè)角，也不可以進(jìn)入黑格。
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)論文篇二
隨著人類社會(huì)的不斷發(fā)展，對于數(shù)學(xué)的要求也在一步步的提升。正是在這發(fā)展的過程中各種各樣的矛盾不斷出現(xiàn)和不斷被解決，同時(shí)也推動(dòng)著數(shù)學(xué)的前進(jìn)。當(dāng)矛盾觸及到數(shù)學(xué)的根基時(shí)，便導(dǎo)致了一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，同時(shí)也預(yù)示著數(shù)學(xué)將有新的革命性的進(jìn)展。在學(xué)習(xí)了《微積分學(xué)選講》這門課后，我便想結(jié)合課上與課下對微積分學(xué)的大致了解，談?wù)劦诙螖?shù)學(xué)危機(jī)解決的過程給我的啟示和帶來的思考。
最早提出相關(guān)問題的要追溯到古希臘時(shí)期的芝諾悖論。飛矢不動(dòng)，明明是運(yùn)動(dòng)的物體卻成了靜止的;阿基里斯追烏龜，無窮時(shí)間以后才能到達(dá)的一點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間趨于0或趨于無窮時(shí)會(huì)發(fā)生什么?這是最早的關(guān)于極限問題的思考，也是以后微積分思想最初的萌芽。可惜以當(dāng)初人們的水平還無法解決這一問題，數(shù)學(xué)中代數(shù)學(xué)的地位也逐漸被幾何所取代，芝諾悖論便留待后人去解決。
17世紀(jì)開始，人類逐漸步入航海時(shí)代和工業(yè)時(shí)代。為了解決實(shí)際生活中求速度，幾何中求面積、體積等問題，人們需要新的數(shù)學(xué)工具。開普勒、費(fèi)馬等人在計(jì)算求和時(shí)提出了最初的積分思想與方法，笛卡爾、巴羅等人在求曲線切線時(shí)所用的方法也成為微分學(xué)的基礎(chǔ)。17世紀(jì)末，牛頓、萊布尼茲在前人的基礎(chǔ)上，將微積分完整化，以“流數(shù)法”(牛頓)解釋微積分的概念與計(jì)算法則，創(chuàng)立通用至今的微積分計(jì)算符號(hào)(萊布尼茲)，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多用初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，運(yùn)用微積分，這些問題往往迎刃而解。 微積分是17世紀(jì)最偉大大數(shù)學(xué)成就，它推動(dòng)助學(xué)產(chǎn)生巨大進(jìn)展，數(shù)學(xué)被融入當(dāng)時(shí)最頂尖的科學(xué)問題之中。反過來，科學(xué)給數(shù)學(xué)提供了許多深?yuàn)W又引人入勝的問題，開啟了數(shù)學(xué)家們的巨大熱情并提供了巨大動(dòng)力。然而在微積分融入科學(xué)的過程中，人們逐漸發(fā)現(xiàn)微積分的基礎(chǔ)概念并不明確，微分、無窮小量到底是什么?這個(gè)問題不解決，微積分就真的如同羅爾所說，是“巧妙的謬論的匯集”，近代科學(xué)也成了“用錯(cuò)誤的方式得到的正確的結(jié)論”，此即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。為了解決這些問題，歐拉,拉格朗日等人進(jìn)行了一些嘗試，由此引出了極限理論的發(fā)展，數(shù)學(xué)分析逐漸走向嚴(yán)格化。19世紀(jì)，由波爾查諾，柯西起將極限完備化，給出了極限的精確定義，并用其重建微積分學(xué)，到魏爾斯特拉斯，戴德金將實(shí)數(shù)理論完備化，整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的根基至此為止才變得牢固，足以支撐起現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)由此完全解決。
但是，真的如此嗎?記得高中第一次接觸微積分時(shí)，正是由于對dx的不理解使得學(xué)習(xí)異常艱難。dx是個(gè)什么樣的量?在求f x =𝑥2的導(dǎo)數(shù)時(shí)為何可以直接省略(𝑑𝑥)2一項(xiàng)?0/0為什么就叫一個(gè)未定式?雖然在進(jìn)入大學(xué)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了極限的知識(shí)后，這些問題也能夠自己解決，但在對前人工作仍然存在不少的困惑。為何戴德金分割確保了實(shí)數(shù)的完全定義?現(xiàn)有的實(shí)數(shù)完備性的準(zhǔn)則是如何保證沒有漏洞的?在完成這篇論文的過程中，查閱資料時(shí)也發(fā)現(xiàn)有人說第二次數(shù)學(xué)危機(jī)在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)體制下是無法解決的，人們并沒有明確的區(qū)分實(shí)極限與虛極限，柯西等人的論證仍有一定漏洞。作為一個(gè)非數(shù)學(xué)系的學(xué)生，大一學(xué)習(xí)的過程中并沒有著重關(guān)注這些問題，只是停留在運(yùn)用微積分進(jìn)行計(jì)算的地步。暑期這次課才真正讓我想到這些以前沒有認(rèn)真思考過的問題，下個(gè)學(xué)期課余時(shí)間或許我會(huì)拿一本數(shù)學(xué)分析，看看數(shù)學(xué)大廈是如何建立起來的。
產(chǎn)生矛盾，發(fā)現(xiàn)矛盾，解決矛盾，完整的數(shù)學(xué)理論，甚至于整個(gè)人類文明都是在這樣的過程下建立起來的，一次大的危機(jī)往往也預(yù)言著一次根本上的革命。在發(fā)展微積分的后續(xù)過程中，除了嚴(yán)格化極限與實(shí)數(shù)理論外，還同時(shí)誕生了微分方程，集合論，復(fù)變函數(shù)論等數(shù)學(xué)分支，大大豐富了數(shù)學(xué)分析技術(shù)。無窮級(jí)數(shù)的收斂性與求和，微分方程的求解，變分法的運(yùn)用也為科學(xué)的發(fā)展提供了更有利的工具，使科學(xué)技術(shù)有了一次次的突破。20世紀(jì)以來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)，現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展都在一定程度上由微積分理論發(fā)展而來，得益于前人的工作。在今天我們能否繼續(xù)從微積分中抽取到一些新的東西，使得數(shù)學(xué)更進(jìn)一步呢?
暑期的微積分學(xué)選講課程到此就結(jié)束了，但我們需要跟隨數(shù)學(xué)前進(jìn)的的路還有很長。感謝宣老師帶領(lǐng)我們領(lǐng)略微積分學(xué)的歷史與魅力，也激發(fā)了我對于數(shù)學(xué)的興趣和思考，在以后的學(xué)習(xí)中相信會(huì)更有益處。
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