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      高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計

      時間: 燕純0 分享

        基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。其表述為:兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。接下來是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計,希望大家喜歡!

        高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計一

        教材分析

        本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。 要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對學(xué)生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應(yīng)重點研究。

        教學(xué)中注意用新課程理念處理教材,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí),而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué),師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用,引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。 通過本節(jié)學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)來源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

        課程目標分析

        依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學(xué)段的目標要求和學(xué)生的實際情況,特確定如下目標:

        1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學(xué)會構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

        2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,體會數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法,通過運用多媒體的教學(xué)手段,引領(lǐng)學(xué)生主動探索基本不等式性質(zhì),體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。

        3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設(shè)置,使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)是從實際中來,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界,通過數(shù)學(xué)思維認知世界,從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。

        教學(xué)重、難點分析

        重點:應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。

        難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);

        2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

        教法分析

        本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法,以學(xué)生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段,加深學(xué)生對基本不等式的理解。

        教學(xué)準備

        多媒體課件、板書

        教學(xué)過程

        教學(xué)過程設(shè)計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程,符合學(xué)生的認知規(guī)律,使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

        具體過程安排如下:

        創(chuàng)設(shè)情景,提出問題;

        設(shè)計意圖:數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺,數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實,并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實.基于此,設(shè)置如下情境:

        上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。

        [問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

        本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系,抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生認識基本不等式。

        二、抽象歸納:

        一般地,對于任意實數(shù)a,b,有 ,當且僅當a=b時,等號成立。

        [問] 你能給出它的證明嗎?

        學(xué)生在黑板上板書。

        特別地,當a>0,b>0時,在不等式 中,以 、 分別代替a、b,得到什么?

        設(shè)計依據(jù):類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

        答案: 。

        【歸納總結(jié)】

        如果a,b都是正數(shù),那么 ,當且僅當a=b時,等號成立。

        我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為a,b的算術(shù)平均數(shù), 稱為a,b的幾何平均數(shù)。

        三、理解升華:

        1、文字語言敘述:

        兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

        2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式

        已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關(guān)系?

        兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。

        3、符號語言敘述:

        若 ,則有 ,當且僅當a=b時, 。

        [問] 怎樣理解“當且僅當”?(學(xué)生小組討論,交流看法,師生總結(jié))

        “當且僅當a=b時,等號成立”的含義是:

        高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計二

        一、教材分析

        1、本節(jié)教材的地位和作用

        “基本不等式” 是必修5的重點內(nèi)容,在課本封面上就體現(xiàn)出來了(展示課本和參考書封面)。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點。同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想,有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

        2、 教學(xué)目標

        (1)知識目標:探索基本不等式的證明過程;會用基本不等式解決最值問題。

        (2)能力目標:培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗、歸納、判斷、猜想等思維能力。?

        (3)情感目標:培養(yǎng)學(xué)生嚴謹求實的科學(xué)態(tài)度,體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一,領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精神。

        3、教學(xué)重點、難點

        根據(jù)課程標準制定如下的教學(xué)重點、難點

        重點: 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式,并從不同角度探索基本不等式。

        難點:基本不等式的內(nèi)涵及幾何意義的挖掘,用基本不等式求最值。

        二、教法說明

        本節(jié)課借助幾何畫板,使用多媒體輔助進行直觀演示.采用啟發(fā)式教學(xué)法創(chuàng)設(shè)問題情景,激發(fā)學(xué)生開始嘗試活動.運用生活中的實際例子,讓學(xué)生享受解決實際問題的樂趣. 課堂上主要采取對比分析;讓學(xué)生邊議、邊評;組織學(xué)生學(xué)、思、練。通過師生和諧對話,使情感共鳴,讓學(xué)生的潛能、創(chuàng)造性最大限度發(fā)揮,使認知效益最大。讓學(xué)生愛學(xué)、樂學(xué)、會學(xué)、學(xué)會。

        三、學(xué)法指導(dǎo)

        為更好的貫徹課改精神,合理的對學(xué)生進行素質(zhì)教育,在教學(xué)中,始終以學(xué)生主體,教師為主導(dǎo).因此我在教學(xué)中讓學(xué)生從不同角度去觀察、分析,指導(dǎo)學(xué)生解決問題,感受知識的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力,讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。

        四、教學(xué)設(shè)計

        ◆運用2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標引入

        ◆運用分析法證明基本不等式

        ◆不等式的幾何解釋

        ◆基本不等式的應(yīng)用

        1、運用2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標引入

        如圖,這是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標.會標根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。(展示風(fēng)車)

        正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,設(shè)AE=a,BE=b,則正方形的面積為S=__,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形,它們的面積之和是S’=_

        從圖形中易得,s≥s’,即

        問題1:它們有相等的情況嗎?何時相等?

        問題2:當 a,b為任意實數(shù)時,上式還成立嗎?(學(xué)生積極思考,通過幾何畫板幫助學(xué)生理解)

        一般地,對于任意實數(shù)a、b,我們有

        當且僅當(重點強調(diào))a=b時,等號成立(合情推理)

        問題3:你能給出它的證明嗎?(讓學(xué)生獨立證明)

        設(shè)計意圖

        (1)運用2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標引入,能讓學(xué)生進一步體會中國數(shù)學(xué)的歷史悠久,感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

        (2)運用此圖標能較容易的觀察出面積之間的關(guān)系,引入基本不等式很直觀。

        (3)三個思考題為學(xué)生創(chuàng)造情景,逐層深入,強化理解.

        2、運用分析法證明基本不等式

        如果 a>0,b>0 ,

        用 和 分別代替a,b??梢缘玫?/p>

        也可寫成

        (強調(diào)基本不等式成立的前提條件“正”)(演繹推理)

        問題4:你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎?

        要證 = 1 GB3 ①

        只要證 = 2 GB3 ②

        要證② ,只要證 = 3 GB3 ③

        要證 = 3 GB3 ③ ,只要證 = 4 GB3 ④

        顯然, ④是成立的.當且僅當a=b時, 不等式中的等號成立.

        (強調(diào)基本不等式取等的條件“等”)

        設(shè)計意圖

        (1)證明過程課本上是以填空形式出現(xiàn)的,學(xué)生能夠獨立完成,這也能進一步培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,符合課改精神;

        (2)證明過程印證了不等式的正確性,并能加深學(xué)生對基本不等式的理解;

        (3)此種證明方法是“分析法”,在選修教材的《推理與證明》一章中會重點講解,此處有必要讓學(xué)生初步了解。

        3、不等式的幾何解釋

        如圖,AB是圓的直徑,C是AB上任一點,AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE,連AD,BD,則CD= ,半徑為

        問題5: 你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? (學(xué)生積極思考,通過幾何畫板幫助學(xué)生理解)

        設(shè)計意圖

        幾何直觀能啟迪思路,幫助理解,因此,借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解,才是真正的理解。

        4、基本不等式的應(yīng)用

        例1.證明

        (學(xué)生自己證明)

        設(shè)計意圖

        (1)這道例題很簡單,多數(shù)學(xué)生都會仿照課本上的分析思路重新證明,能夠練習(xí)“分析法”證明不等式的過程;

        (2)學(xué)生能夠加深對基本不等式的理解,a和b不僅僅是一個字母,而是一個符號,它們可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一個多項式;

        (3)此例不是課本例題,比課本例題簡單,這樣,循序漸進, 有利于學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵。

        例2:(1)把36寫成兩個正數(shù)的積,當兩個正數(shù)取什么值時,它們的和最小?

        (2)把18寫成兩個正數(shù)的和,當兩個正數(shù)取什么值時,它們的積最大?

        (讓學(xué)生分組合作、探究完成)

        高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計三

        課標要求

        知識與技能:學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是:當且僅當這兩個數(shù)相等;

        過程與方法:通過實例探究抽象基本不等式;

        情感目標:通過本節(jié)的學(xué)習(xí),體會數(shù)學(xué)來源于生活,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣; 識記 理解 應(yīng)用 綜合 知識點一:

        基本不等式及其推導(dǎo)

        過程 ∨ 知識點二:

        基本不等式的應(yīng)用 ∨ 目標設(shè)計 1.通過從不同角度探索不等式 的證明過程,使學(xué)生理解基本不等式及其等號成立的條件;

        2.掌握基本不等式解決最值問題,并理解運用基本不等式 的三個限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用。 教學(xué)情境一:

        如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標,

        會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,

        顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。

        問題1:你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

        分析:將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。

        教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。

        我們考慮4個直角三角形的面積的和是 ,正方形的面積為 。

        由圖可知 ,即 .

        當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有 。

        新知:若 ,則

        教學(xué)情境二:

        先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形,

        再用這兩個三角形拼接構(gòu)造出一個矩形

        (兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊,多余部分折疊).

        假設(shè)兩個正方形的面積分別為 和 ( )

        問題2:考察左圖中兩個直角三角形的面積與矩形的面積,你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎?

        新知:若 ,則

        問題3:你能用代數(shù)的方法給出它們的證明嗎?

        證明:因為 ,即 (當 時取等號)

        (在該過程中,可發(fā)現(xiàn) 的取值可以是全體實數(shù))

        證明:(分析法):由于 ,于是要證明 ,

        只要證明 ,

        即證 ,即 ,

        所以 ,(當 時取等號)

        【板書】兩個重要不等式

        若 ,則 (當且僅當 時,等號成立)

        若 ,則 (當且僅當 時,等號成立)

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