2017年初三數(shù)學(xué)中考模擬試卷答案(2)
【點(diǎn)評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵.
三.解答題(本大題共7題，共10+10+10+10+12+12+14=78分)
19.計算：2cos230°﹣sin30°+ .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.
【解答】解：原式=2×( )2﹣ +
=1+ + .
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
20.，已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，且DE=2，CE=3，射線AE與射線BC相交于點(diǎn)F;
(1)求 的值;
(2)如果 = ， = ，求向量 ;(用向量 、 表示)
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);*平面向量.
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=5、AB∥EC，證△FEC∽△FAB得 = = ;
(2)由△FEC∽△FAB得 = ，從而知FC= BC，EC= AB，再由平行四邊形性質(zhì)及向量可得 = = ， = = ，最后根據(jù)向量的運(yùn)算得出答案.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，DE=2，CE=3，
∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，
∴△FEC∽△FAB，
∴ = = ;
(2)∵△FEC∽△FAB，
∴ = ，
∴FC= BC，EC= AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，EC∥AB，
∴ = = ，
∴ = = ， = = ，
則 = + = .
【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及向量的運(yùn)算，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
21.，在△ABC中，AC=4，D為BC上一點(diǎn)，CD=2，且△ADC與△ABD的面積比為1：3;
(1)求證：△ADC∽△BAC;
(2)當(dāng)AB=8時，求sinB.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);解直角三角形.
【分析】(1)作AE⊥BC，根據(jù)△ADC與△ABD的面積比為1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，從而得 ，結(jié)合∠C=∠C，可證得△ADC∽△BAC;
(2)由△ADC∽△BAC得 ，求出AD的長，根據(jù)AE⊥BC得DE= CD=1，由勾股定理求得AE的長，最后根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得.
【解答】解：(1)，作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵ = = = ，
∴BD=3CD=6，
∴CB=CD+BD=8，
則 = ， ，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC;
(2)∵△ADC∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴AD=AC=4，
∵AE⊥BC，
∴DE= CD=1，
∴AE= = ，
∴sinB= = .
【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
22.，是某廣場臺階(結(jié)合輪椅專用坡道)景觀設(shè)計的模型，以及該設(shè)計第一層的截面圖，第一層有十級臺階，每級臺階的高為0.15米，寬為0.4米，輪椅專用坡道AB的頂端有一個寬2米的水平面BC;《城市道路與建筑物無障礙設(shè)計規(guī)范》第17條，新建輪椅專用坡道在不同坡度的情況下，坡道高度應(yīng)符合以下表中的規(guī)定：
坡度 1：20 1：16 1：12
最大高度(米) 1.50 1.00 0.75
(1)選擇哪個坡度建設(shè)輪椅專用坡道AB是符合要求的?說明理由;
(2)求斜坡底部點(diǎn)A與臺階底部點(diǎn)D的水平距離AD.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】(1)計算最大高度為：0.15×10=1.5(米)，由表格查對應(yīng)的坡度為：1：20;
(2)作梯形的高BE、CF，由坡度計算AE和DF的長，相加可得AD的長.
【解答】解：(1)∵第一層有十級臺階，每級臺階的高為0.15米，
∴最大高度為0.15×10=1.5(米)，
由表知建設(shè)輪椅專用坡道AB選擇符合要求的坡度是1：20;
(2)，過B作BE⊥AD于E，過C作CF⊥AD于F，
∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，
∵ = ，
∴ = ，
∴AE=DF=30，
∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，
答：斜坡底部點(diǎn)A與臺階底部點(diǎn)D的水平距離AD為62米.
【點(diǎn)評】本題考查了坡度坡角問題，在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，利用三角函數(shù)的定義列等式即可.
23.，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E是邊BC上的兩個點(diǎn)，且BD=DE=EC，過點(diǎn)C作CF∥AB交AE延長線于點(diǎn)F，連接FD并延長與AB交于點(diǎn)G;
(1)求證：AC=2CF;
(2)連接AD，如果∠ADG=∠B，求證：CD2=AC•CF.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB證△ABE∽△FCE得 =2，即AB=2FC，根據(jù)AB=AC即可得證;
(2)由∠1=∠B證△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，結(jié)合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，繼而知∠4=∠5，即可證△ACD∽△DCF得CD2=AC•CF.
【解答】證明：(1)∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△FCE，
∴ =2，即AB=2FC，
又∵AB=AC，
∴AC=2CF;
(2)，
∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，
∴△DAG∽△BAD，
∴∠AGD=∠ADB，
∴∠B+∠2=∠5+∠6，
又∵AB=AC，∠2=∠3，
∴∠B=∠5，
∴∠3=∠6，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠B，
∴∠4=∠5，
則△ACD∽△DCF，
∴ ，即CD2=AC•CF.
【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出三角形相似所需要的條件是解題的關(guān)鍵.
24.已知頂點(diǎn)為A(2，﹣1)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(0，3)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè));
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BD、DA，求△ABD的面積;
(3)點(diǎn)P在x軸正半軸上，如果∠APB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣1，把(0，3)代入可得a=1，即可解決問題.
(2)首先證明∠ADB=90°，求出BD、AD的長即可解決問題.
(3)由△PDB∽△ADP，推出PD2=BD•AD=3 =6，由此即可解決問題.
【解答】解：(1)∵頂點(diǎn)為A(2，﹣1)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(0，3)，
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣1，
把(0，3)代入可得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3.
(2)令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，
∴C(1，0)，D(3，0)，
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A(2，﹣1)，D(3，0)，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3 ，AD= ，
∴S△ABD= •BD•AD=3.
(3)∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD2=BD•AD=3 =6，
∴PD= ，
∴OP=3+ ，
∴點(diǎn)P(3+ ，0).
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法.三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型.
25.，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是射線CB上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，且AF⊥AE，射線EF與對角線BD交于點(diǎn)G，與射線AD交于點(diǎn)M;
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，求證：△AEF∽△ABD;
(2)在(1)的條件下，聯(lián)結(jié)AG，設(shè)BE=x，tan∠MAG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍;
(3)當(dāng)△AGM與△ADF相似時，求BE的長.
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【分析】(1)首先證明△ABE∽△ADF，推出 = ，推出 = ，因?yàn)?ang;BAD=∠EAF，即可證明△AEF∽△ABD.
(2)連接AG.由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四點(diǎn)共圓，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，由△ABE∽△ADF，得 = ，得DF= x，由此即可解決問題.
(3)分兩種情形①2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上時，②3中，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，分別列出方程求解即可.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD.
(2)解：連接AG.
∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四點(diǎn)共圓，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，
∵△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴DF= x，
∴y= ，
即y= (0≤x≤4).
(3)解：①2中，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上時，
∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG= = ，
∴ = ，
解得x= .
?、?中，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，
由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴ = ，
∴ = ，
解得x=1，
∴BE的長為 或1.
【點(diǎn)評】本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.
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