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      九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

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        中考考好了才能上一個(gè)好的高中哦,今天小編就給大家參考一下九年級(jí)數(shù)學(xué),希望大家來(lái)學(xué)習(xí)一下哦

        關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試卷

        一.選擇題(共10小題,滿(mǎn)分30分)

        1.(3分)將代數(shù)式x2﹣10x+5配方后,發(fā)現(xiàn)它的最小值為(  )

        A.﹣30 B.﹣20 C.﹣5 D.0

        2.(3分)下列圖形,既是軸對(duì)稱(chēng)又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是(  )

        A. B. C. D.

        3.(3分)一條排水管的截面如圖所示,已知排水管的半徑OB=10,水面寬AB=16,則截面圓心O到水面的距離OC是(  )

        A.4 B.5 C.6 D.6

        4.(3分)一個(gè)等腰三角形的 兩條邊長(zhǎng)分別是方程x2﹣7x+10=0的兩根,則該等腰三角形的周長(zhǎng)是(  )

        A.12 B.9 C.13 D.12或9

        5.(3分)下列關(guān)于二次函數(shù)y=﹣2(x﹣2)2+1圖象的敘述,其中錯(cuò)誤的是(  )

        A.開(kāi)口向下

        B.對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2

        C.此函數(shù)有最小值是1

        D.當(dāng)x>2時(shí),函數(shù)y隨x增大而減小

        6.(3分)賓館有50間房供游客居住,當(dāng)毎間房每天定價(jià)為180元時(shí),賓館會(huì)住滿(mǎn);當(dāng)毎間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對(duì)居住的毎間房每天支出20元的費(fèi)用.當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元? 設(shè)房?jī)r(jià)定為x元.則有(  )

        A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

        B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

        C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

        D.(x+180)(50﹣ )﹣50×20=10890

        7.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1(如圖2),此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O,則線(xiàn)段AD1的長(zhǎng)度為(  )

        A. B. C. D.4

        8.(3分)已知學(xué)校航模組設(shè)計(jì)制作的火箭的升空高度h(m)與飛行時(shí)間t(s)滿(mǎn)足函數(shù)表達(dá)式h=﹣t2+24t+1.則下列說(shuō)法中正確的是(  )

        A.點(diǎn)火后9s和點(diǎn)火后13s的升空高度相同

        B.點(diǎn)火 后24s火箭落于地面

        C.點(diǎn)火后10s的升空高度為139m

        D.火箭升空的最大高度為145m

        9.(3分)拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3(a≠0)過(guò)A(4,4),B(2,m)兩點(diǎn),點(diǎn)B到拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的距離記為 d,滿(mǎn)足0

        A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2

        10.(3分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列5個(gè)結(jié)論:

       ?、賏bc<0;②3a+c>0;③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤b2>4ac.

        其中正確的結(jié)論的有(  )

        A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D .5個(gè)

        二.填空題(共5小題,滿(mǎn)分15分,每小題3分)

        11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個(gè)根,則6m2﹣9m+2015的值為   .

        12.(3分)方程x(x+1)=2(x+1)的解是   .

        13.(3分)如圖,已知⊙O是△ABD的外接圓,AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD的度數(shù)是   .

        14.(3分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a ≠0)中,函數(shù)值y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

        x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …

        y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …

        則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是   .

        15.(3分)如圖,線(xiàn)段AB=10,點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上,在AB的同側(cè)分別以AP、BP為邊長(zhǎng)作正方形APCD和BPEF,點(diǎn)M、N分別是EF、CD的中點(diǎn),則MN的最小值是   .

        三.解答題(共7小題,滿(mǎn)分55分)

        16.(8分)解下列方程:

        (1)x(x+5)=14;

        (2)x2﹣2x﹣2=0

        17.(6分)如圖,AB是⊙O的直徑,C、D兩點(diǎn)在⊙O上,若∠C=45°,

        (1)求∠ABD的度數(shù);

        (2)若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O的半徑.

        18.(7分)如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(4,3).

        (1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1,并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo);

        (2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2BC2;

        (3)求出(2)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)和π);

        (4)求出(2)△A2BC2的面積是多少.

        19.(8分)今年深圳“讀書(shū)月”期間,某書(shū)店將每本成本為30元的一批圖書(shū),以40元的單價(jià)出售時(shí),每天的銷(xiāo)售量是300本.已知在每本漲價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下,若每本漲價(jià)1元,則每天就會(huì)少售出10本,設(shè)每本書(shū)上漲了x元.請(qǐng)解答以下問(wèn)題:

        (1)填空:每天可售出書(shū)   本(用含x的代數(shù)式表示);

        (2)若書(shū)店想通過(guò)售出這批圖書(shū)每天獲得3750元的利潤(rùn),應(yīng)漲價(jià)多少元?

        20.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣2m)=0.

        (1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

        (2)如果方程的兩實(shí)數(shù)根為x1,x2,且x12+x2 2=10,求m的值.

        21.(9分)某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):

        信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,所獲利潤(rùn)yA(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在某種關(guān)系的部分對(duì)應(yīng)值如下表:

        x(萬(wàn)元) 1 2 2.5 3 5

        yA(萬(wàn)元) 0.4 0.8 1 1.2 2

        信息二:如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤(rùn)yB(萬(wàn)元)與投資金額x(萬(wàn)元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yB=ax2+bx,且投資2萬(wàn)元時(shí)獲利潤(rùn)2.4萬(wàn)元,當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí),可獲利潤(rùn)3.2萬(wàn)元.

        (1)求出yB與x的函數(shù)關(guān)系式;

        (2)從所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示yA與x之間的關(guān)系,并求出yA與x的函數(shù)關(guān)系式;

        (3)如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A、B兩種產(chǎn)品共投資15萬(wàn)元,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少?

        22.(9分)如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx(a<0)過(guò)點(diǎn)E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線(xiàn)段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),點(diǎn)C,D在拋物線(xiàn)上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時(shí),AD=4.

        (1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

        (2)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值? 最大值是多少?

        (3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng),向右平移拋物線(xiàn).當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線(xiàn)GH平分矩形的面積時(shí),求拋物線(xiàn)平移的距離.

        參考答案

        一.選擇題

        1.B.

        2.C.

        3.D.

        4.A.

        5.C.

        6.B.

        7.A.

        8.D.

        9.B.

        10.C.

        二.填空題

        11 .2018

        12.x1=2,x2=﹣1.

        13.32°.

        14.x1=﹣4,x2=0.

        15.5.

        三.解答題

        16.解:(1)x2+5x﹣14=0,

        (x+7)(x﹣2)=0,

        x+7=0或x﹣2=0,

        所以x1=﹣7,x2=2;

        (2)x2﹣2x=2,

        x2﹣2x+1=3,

        (x﹣1)2=3,

        x﹣1=± ,

        所以x1=1+ ,x2=1﹣ .

        17.解:(1)∵∠C=45°,

        ∴∠A=∠C=45°,

        ∵AB是⊙O的直徑,

        ∴∠ADB=90°,

        ∴∠ABD=45°;

        (2)連接AC,

        ∵AB是⊙O的直徑,

        ∴∠ACB=90°,

        ∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,

        ∴AB=6,

        ∴⊙O的半徑為3.

        18.]解:(1)如圖,△A1B1C1為所作,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,﹣4);

        (2)如圖,△A2BC2為所作;

        (3)BC= = ,

        所以C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)= = π;

        (4)△A2BC2的面積=3×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×2×3= .

        19.

        【解答】解:(1)∵每本書(shū)上漲了x元,

        ∴每天可售出書(shū)(300﹣10x)本.

        故答案為:(300﹣10x).

        (2)設(shè)每本書(shū)上漲了x元(x≤10),

        根據(jù)題意得:(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750,

        整理,得:x2﹣20x+75=0,

        解得:x1=5,x2=15(不合題意,舍去).

        答:若書(shū)店想每天獲得3750元的利潤(rùn),每本書(shū)應(yīng)漲價(jià)5元.

        20.

        【解答】解:(1)由題意可知:△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)

        =4>0,

        ∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

        (2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,

        ∴ + =(x1+x2)2﹣2x1x2=10,

        ∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,

        ∴m2﹣2m﹣3=0,

        ∴m=﹣1或m=3

        21.

        【解答】解:(1)由題意得,將坐標(biāo)(2,2.4)(4,3.2)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)B=ax2+bx,

        求解得:

        ∴yB與x的函數(shù)關(guān)系式:yB=﹣0.2x2+1.6x

        (2)根據(jù)表格中對(duì)應(yīng)的關(guān)系可以確定為一次函數(shù),

        故設(shè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)A=kx+b,將(1,0.4)(2,0.8)代入得: ,]

        解得: ,

        則yA=0.4x;

        (3)設(shè)投資B產(chǎn)品x萬(wàn)元,投資A產(chǎn)品(15﹣x)萬(wàn)元,總利潤(rùn)為W萬(wàn)元,

        W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8

        即當(dāng)投資B3萬(wàn)元,A12萬(wàn)元時(shí)所獲總利潤(rùn)最大,為7.8萬(wàn)元.

        22.

        【解答】解:(1)設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax(x﹣10),

        ∵當(dāng)t=2時(shí),AD=4,

        ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),

        ∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得﹣16a=4,

        解得:a=﹣ ,

        拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣ x2+ x;

        (2)由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得BE=OA=t,

        ∴AB=10﹣2t,

        當(dāng)x=t時(shí),AD=﹣ t2+ t,

        ∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2(AB+AD)

        =2[(10﹣2t)+(﹣ t2+ t)]

        =﹣ t2+t+20

        =﹣ (t﹣1)2+ ,

        ∵﹣ <0,

        ∴當(dāng)t=1時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值,最大值為 ;

        (3)如圖,

        當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),

        ∴矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,2),

        當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4,4),此時(shí)GH不能將矩形面積平分;

        當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(6,0),此時(shí)GH也不能將矩形面積平分;

        ∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線(xiàn)段AD或BC上時(shí),直線(xiàn)GH不可能將矩形的面積平分,

        當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線(xiàn)段AB、DC上時(shí),直線(xiàn)GH過(guò)點(diǎn)P,必平分矩形ABCD的面積,

        ∵AB∥CD,

        ∴線(xiàn)段OD平移后得到的線(xiàn)段GH,

        ∴線(xiàn)段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P,

        在△OBD中,PQ是中位線(xiàn),

        ∴PQ= OB=4,

        所以?huà)佄锞€(xiàn)向右平移的距離是4個(gè)單位.

        九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題閱讀

        一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)

        1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時(shí),原方程可化為(  )

        A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

        2.隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是(  )

        A. B. C. D.1

        3.下列各組線(xiàn)段中是成比例線(xiàn)段的是(  )

        A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

        C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

        4.關(guān)于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是(  )

        A.0 B.8 C.4 D.0或8

        5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點(diǎn),且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長(zhǎng)為(  )

        A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

        6.x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根,則此方程的另一個(gè)根是(  )

        A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

        7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為(  )

        A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

        8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=(  )

        A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

        9.一件商品的原價(jià)是100元,經(jīng)過(guò)兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元,如果每次提價(jià)的百分率都是x,根據(jù)題意,下面列出的方程正確的是(  )

        A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

        10.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點(diǎn)F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長(zhǎng)為(  )

        A. B. C. D.

        二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)

        11.方程(x﹣2)2=9的解是  .

        12.邊長(zhǎng)為5cm的菱形,一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是6cm,則菱形的面積是  cm2.

        13.如果線(xiàn)段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d=  .

        14.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數(shù)為  .

        15.x2﹣2x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程,則a所滿(mǎn)足的條件是  .

        16.如圖,已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2 ,將正方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為  .

        三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)

        17.解方程x(x﹣1)=2.

        18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

        19.如圖,在▱ABCD中,F(xiàn)是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.

        四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)

        20.(7分)已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長(zhǎng)AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.

        求證:EC=FC.

        21.(7分)某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴(kuò)大銷(xiāo)售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臏p價(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降1元,商場(chǎng)平均每天可多售出5件.若商場(chǎng)平均每天要盈利1600元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少件?

        22.(7分)一只箱子里共3個(gè)球,其中2個(gè)白球,1個(gè)紅球,它們除顏色外均相同.

        (1)從箱子中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是多少?

        (2)從箱子中任意摸出一個(gè)球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個(gè)球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格.

        五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)

        23.(9分)如圖,在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點(diǎn)B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線(xiàn)CE的關(guān)系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點(diǎn)F,且AE=3.

        (1)求OC長(zhǎng)度;

        (2)求點(diǎn)B'的坐標(biāo);

        (3)求矩形ABCO的面積.

        24.(9分)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F(xiàn)是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.

        (1)求證:△ABM∽△EFA;

        (2)若AB=12,BM=5,求DE的長(zhǎng).

        25.(9分)如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)(不與點(diǎn)A、B重合),一直到達(dá)點(diǎn)B為止;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D移動(dòng)(不與點(diǎn)C、D重合).運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t秒.

        (1)若點(diǎn)P、Q均以3cm/s的速度移動(dòng),則:AP=  cm;QC=  cm.(用含t的代數(shù)式表示)

        (2)若點(diǎn)P為3cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q以2cm/s的速度移動(dòng),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?

        (3)若點(diǎn)P、Q均以3cm/s的速度移動(dòng),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形BPDQ為菱形?

        九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷

        參考答案與試題解析

        一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)

        1.用因式分解法解一元二次方程x(x﹣3)=x﹣3時(shí),原方程可化為(  )

        A.(x﹣1)(x﹣3)=0 B.(x+1)(x﹣3)=0 C.x (x﹣3)=0 D.(x﹣2)(x﹣3)=0

        【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

        【分析】先移項(xiàng),再分解因式,即可得出選項(xiàng).

        【解答】解:x(x﹣3)=x﹣3,

        x(x﹣3)﹣(x﹣3)=0,

        (x﹣3(x﹣1)=0,

        故選A.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,能正確分解因式是解此題的關(guān)鍵.

        2.隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是(  )

        A. B. C. D.1

        【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

        【分析】首先利用列舉法,列得所有等可能的結(jié)果,然后根據(jù)概率公式即可求得答案.

        【解答】解:隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,

        可能的結(jié)果有:正正,正反,反正,反反,

        ∴兩次正面都朝上的概率是 .

        故選A.

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列舉法求概率的知識(shí).解題的關(guān)鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結(jié)果,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

        3.下列各組線(xiàn)段中是成比例線(xiàn)段的是(  )

        A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm

        C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm

        【考點(diǎn)】比例線(xiàn)段.

        【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積,然后根據(jù)比例線(xiàn)段的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

        【解答】解:∵1×4≠2×3,

        ∴選項(xiàng)A不成比例;

        ∵1×4=2×2,

        ∴選項(xiàng)B成比例;

        ∵3×13≠5×9,

        ∴選項(xiàng)C不成比例;

        ∵3×1≠2×2,

        ∴選項(xiàng)D不成比例

        故選B.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線(xiàn)段:判定四條線(xiàn)段是否成比例,只要把四條線(xiàn)段按大小順序排列好,判斷前兩條線(xiàn)段之比與后兩條線(xiàn)段之比是否相等即可,求線(xiàn)段之比時(shí),要先統(tǒng)一線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位,最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系.

        4.關(guān)于x的方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是(  )

        A.0 B.8 C.4 D.0或8

        【考點(diǎn)】根的判別式.

        【分析】根據(jù)方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,解方程即可得m的值.

        【解答】解:∵方程x2+(m﹣2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

        ∴△=0,即(m﹣2)2﹣4(m+1)=0,

        解得:m=0或m=8,

        故選:D.

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識(shí).此題比較簡(jiǎn)單,注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系:①當(dāng)△>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;②當(dāng)△=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根;③當(dāng)△<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

        5.如圖,三角形ABC中,D、E、F分別是AB,AC,BC上的點(diǎn),且DE∥BC,EF∥AB,AD:DB=1:2,BC=30cm,則FC的長(zhǎng)為(  )

        A.10cm B.20cm C.5cm D.6cm

        【考點(diǎn)】平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例.

        【分析】先由DE∥BC,EF∥AB得出四邊形BDEF是平行四邊形,那么BF=DE.再由AD:DB=1:2,得出AD:AB=1:3.由DE∥BC,根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出DE:BC=AD:AB=1:3,將BC=30cm代入求出DE的長(zhǎng),即可得FC的長(zhǎng).

        【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,

        ∴四邊形BDEF是平行四邊形,

        ∴BF=DE.

        ∵AD:DB=1:2,

        ∴AD:AB=1:3.

        ∵DE∥BC,

        ∴DE:BC=AD:AB=1:3,即DE:30=1:3,

        ∴DE=10,

        ∴BF=10.

        故FC的長(zhǎng)為20cm.

        故選B

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),比例的性質(zhì),難度不大,得出BF=DE,從而利用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

        6.x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一個(gè)根,則此方程的另一個(gè)根是(  )

        A.5 B.﹣5 C.4 D.﹣4

        【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

        【分析】由于該方程的一次項(xiàng)系數(shù)是未知數(shù),所以求方程的另一解可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

        【解答】解:設(shè)方程的另一根為x1,

        由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得:x1•1=﹣5,

        ∴x1=﹣5.

        故選:B.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程兩個(gè)為x1,x2,則x1+x2=﹣ ,x1•x2= .

        7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根,則x1+x2,x1x2的值分別為(  )

        A.﹣2,3 B.2,3 C.3,﹣2 D.﹣2,﹣3

        【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.

        【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.

        【解答】解:根據(jù)題意得x1+x2= =﹣2; x1x2= ﹣3.

        故選D.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系,關(guān)鍵是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí),x1+x2= ,x1x2= .

        8.如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),且DE∥BC,如果AD=2cm,DB=1cm,AE=1.8cm,則EC=(  )

        A.0.9cm B.1cm C.3.6cm D.0.2cm

        【考點(diǎn)】平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例.

        【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到 = ,然后利用比例性質(zhì)求EC的長(zhǎng).

        【解答】解:∵DE∥BC,

        ∴ = ,即 = ,

        ∴EC=0.9(cm).

        故選A.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例:三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn),所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.

        9.一件商品的原價(jià)是100元,經(jīng)過(guò)兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元,如果每次提價(jià)的百分率都是x,根據(jù)題意,下面列出的方程正確的是(  )

        A.100(1+x)=121 B.100(1﹣x)=121 C.100(1+x)2=121 D.100(1﹣x)2=121

        【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

        【分析】設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x,根據(jù)原價(jià)為100元,表示出第一次提價(jià)后的價(jià)錢(qián)為100(1+x)元,然后再根據(jù)價(jià)錢(qián)為100(1+x)元,表示出第二次提價(jià)的價(jià)錢(qián)為100(1+x)2元,根據(jù)兩次提價(jià)后的價(jià)錢(qián)為121元,列出關(guān)于x的方程.

        【解答】解:設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x,

        根據(jù)題意得:100(1+x)2=121,

        故選C.

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,屬于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題,一般情況下,假設(shè)基數(shù)為a,平均增長(zhǎng)率為x,增長(zhǎng)的次數(shù)為n(一般情況下為2),增長(zhǎng)后的量為b,則有表達(dá)式a(1+x)n=b,類(lèi)似的還有平均降低率問(wèn)題,注意區(qū)分“增”與“減”.

        10.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,且DE= AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點(diǎn)F.若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長(zhǎng)為(  )

        A. B. C. D.

        【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

        【分析】先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直求出∠COD=90°,證明四邊形OCED是矩形,再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=AB,再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可.

        【解答】解:在菱形ABCD中,OC= AC,AC⊥BD,

        ∴DE=OC,

        ∵DE∥AC,

        ∴四邊形OCED是平行四邊形,

        ∵AC⊥BD,

        ∴平行四邊形OCED是矩形,

        ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,

        ∴△ABC為等邊三角形,

        ∴AD=AB=AC=2,OA= AC=1,

        在矩形OCED中,由勾股定理得:CE=OD= = = ,

        在Rt△ACE中,由勾股定理得:AE= = = ;

        故選:C.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握菱形的性質(zhì),證明四邊形是矩形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

        二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)

        11.方程(x﹣2)2=9的解是 5或﹣1 .

        【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法.

        【分析】觀(guān)察方程后發(fā)現(xiàn),左邊是一個(gè)完全平方式,右邊是3的平方,即x﹣2=±3,解兩個(gè)一元一次方程即可.

        【解答】解:開(kāi)方得x﹣2=±3即:

        當(dāng)x﹣2=3時(shí),x1=5;

        當(dāng)x﹣2=﹣3時(shí),x2=﹣1.

        故答案為:5或﹣1.

        【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是將方程右側(cè)看做一個(gè)非負(fù)已知數(shù),根據(jù)法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為1,再開(kāi)平方取正負(fù),分開(kāi)求得方程解”來(lái)求解.

        12.邊長(zhǎng)為5cm的菱形,一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是6cm,則菱形的面積是 24 cm2.

        【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

        【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)垂直且互相平分,即可得出菱形的另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng),再利用菱形的面積公式求出即可.

        【解答】解:如圖所示:設(shè)BD=6cm,AD=5cm,

        ∴BO=DO=3cm,

        ∴AO=CO= =4(cm),

        ∴AC=8cm,

        ∴菱形的面積是: ×6×8=24(cm2).

        故答案為:24.

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì),熟練掌握菱形的面積公式以及對(duì)角線(xiàn)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

        13.如果線(xiàn)段a,b,c,d成比例,且a=5,b=6,c=3,則d= 3.6 .

        【考點(diǎn)】比例線(xiàn)段.

        【分析】根據(jù)比例線(xiàn)段的定義,即可列出方程求解.

        【解答】解:根據(jù)題意得: = ,即 = ,

        解得:d=3.6.

        故答案為3.6.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線(xiàn)段的定義,注意a、b、c、d是成比例線(xiàn)段即 = ,要理解各個(gè)字母的順序.

        14.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥BD,垂足為E,ED=3BE,則∠AOB的度數(shù)為 60° .

        【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).

        【分析】由矩形的性質(zhì)和已知條件證得△OAB是等邊三角形,繼而求得∠AOB的度數(shù).

        【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,

        ∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,

        ∴OA=OB,

        ∵ED=3BE,

        ∴BE:OB=1:2,

        ∵AE⊥BD,

        ∴AB=OA,

        ∴OA=AB=OB,

        即△OAB是等邊三角形,

        ∴∠AOB=60°;

        故答案為:60°.

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì).熟練掌握矩形的性質(zhì),證明△AOB是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

        15.(a+2)x2﹣2x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程,則a所滿(mǎn)足的條件是 a≠﹣2 .

        【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.

        【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a+2≠0,求出即可.

        【解答】解:∵(a+2)x2﹣2x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程,

        ∴a+2≠0,

        ∴a≠﹣2.

        故答案為:a≠﹣2.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義,注意:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a b c都是常數(shù),且a≠0).

        16.如圖,已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2 ,將正方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為 8 .

        【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題).

        【分析】先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2 求出a的值,由圖形翻折變換的性質(zhì)可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,由陰影部分的周長(zhǎng)=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結(jié)論.

        【解答】解:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則2a2=(2 )2,解得a=2,

        翻折變換的性質(zhì)可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG,

        陰影部分的周長(zhǎng)=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8.

        故答案為:8.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì),即折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換,它屬于軸對(duì)稱(chēng),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

        三、解答題(一)(本大題共3小題,每小題6分,共18分)

        17.解方程x(x﹣1)=2.

        【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

        【分析】首先將原方程變形化為一般式,然后利用因式分解法即可求得此方程的根.

        【解答】解:∵x(x﹣1)=2,

        ∴x2﹣x﹣2=0,

        ∴(x﹣2)(x+1)=0,

        即x﹣2=0或x+1=0,

        ∴x=2或x=﹣1,

        ∴原方程的根為:x1=2,x2=﹣1.

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程時(shí),需首先將原方程化為一般式再求解.

        18.解方程:x2﹣2x=2x+1.

        【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.

        【分析】先移項(xiàng),把2x移到等號(hào)的左邊,再合并同類(lèi)項(xiàng),最后配方,方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,左邊就是完全平方式,右邊就是常數(shù),然后利用平方根的定義即可求解.

        【解答】解:∵x2﹣2x=2x+1,

        ∴x2﹣4x=1,

        ∴x2﹣4x+4=1+4,

        (x﹣2)2=5,

        ∴x﹣2=± ,

        ∴x1=2+ ,x2=2﹣ .

        【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;(4)選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).

        19.如圖,在▱ABCD中,F(xiàn)是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使CE= BC,連接DE,CF.求證:四邊形CEDF是平行四邊形.

        【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì).

        【分析】由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知AD∥BC,且AD=BC;然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合已知條件推知四邊形CEDF的對(duì)邊平行且相等(DF=CE,且DF∥CE),即四邊形CEDF是平行四邊形.

        【解答】證明:如圖,在▱ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.

        ∵F是AD的中點(diǎn),

        ∴DF= .

        又∵CE= BC,

        ∴DF=CE,且DF∥CE,

        ∴四邊形CEDF是平行四邊形.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).平行四邊形的判定方法共有五種,應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

        四、解答題(二)(本大題共3小題,每小題7分,共21分)

        20.已知:如圖,在菱形ABCD中,分別延長(zhǎng)AB、AD到E、F,使得BE=DF,連接EC、FC.

        求證:EC=FC.

        【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

        【分析】要證EC=FC,只要證明三角形BCE和DCF全等即可,兩三角形中已知的條件有BE=DF,CB=CD,那么只要證得兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可得出結(jié)論,根據(jù)四邊形ABCD是菱形我們可得出∠ABC=∠ADC,因此∠EBC=∠FDC.這樣就構(gòu)成了三角形全等的條件.因此兩個(gè)三角形就全等了.

        【解答】證明:∵四邊形ABCD是菱形,

        ∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,

        ∴∠EBC=∠FDC.

        在△EBC和△FDC中, ,

        ∴△EBC≌△FDC(SAS),

        ∴EC=FC.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定,求簡(jiǎn)單的線(xiàn)段相等,可以通過(guò)全等三角形來(lái)證明,要注意利用此題中的圖形條件,如等角的補(bǔ)角相等.

        21.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利44元,為了擴(kuò)大銷(xiāo)售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臏p價(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降1元,商場(chǎng)平均每天可多售出5件.若商場(chǎng)平均每天要盈利1600元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少件?

        【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.

        【分析】利用襯衣平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售這種襯衣利潤(rùn)列出方程解答即可.

        【解答】解:設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元.

        根據(jù)題意,得 (44﹣x)(20+5x)=1600,

        解得x1=4,x2=36.

        ∵“擴(kuò)大銷(xiāo)售量,減少庫(kù)存”,

        ∴x1=4應(yīng)略去,

        ∴x=36.

        20+5x=200.

        答:每件襯衫應(yīng)降價(jià)36元,進(jìn)貨200件.

        【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,利用基本數(shù)量關(guān)系:平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售的利潤(rùn)是解題關(guān)鍵.

        22.一只箱子里共3個(gè)球,其中2個(gè)白球,1個(gè)紅球,它們除顏色外均相同.

        (1)從箱子中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是多少?

        (2)從箱子中任意摸出一個(gè)球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個(gè)球,求兩次摸出的球都是白球的概率,并畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格.

        【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.

        【分析】(1)直接利用概率公式求解;

        (2)畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù),再找出兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.

        【解答】解:(1)因?yàn)橄渥永锕?個(gè)球,其中2個(gè)白球,所以從箱子中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是 ;

        (2)畫(huà)樹(shù)狀圖為:

        共有6種等可能的結(jié)果數(shù),其中兩次摸出的球都是白球的結(jié)果數(shù)為2,

        所以?xún)纱蚊龅那蚨际前浊虻母怕? = .

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法:利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.

        五、解答題(三)(本大題共3小題,每小題9分,共27分)

        23.如圖,在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)矩形紙片ABCO,將紙片翻折后,點(diǎn)B恰好落在x軸上,記為B',折痕為CE.直線(xiàn)CE的關(guān)系式是y=﹣ x+8,與x軸相交于點(diǎn)F,且AE=3.

        (1)求OC長(zhǎng)度;

        (2)求點(diǎn)B'的坐標(biāo);

        (3)求矩形ABCO的面積.

        【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.

        【分析】(1)在直線(xiàn)y=﹣ x+8中令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo),則可求得OC長(zhǎng)度;

        (2)由折疊的性質(zhì)可求得B′E,在Rt△AB′E中,可求得AB′,再由點(diǎn)E在直線(xiàn)CF上,可求得E點(diǎn)坐標(biāo),則可求得OA長(zhǎng),利用線(xiàn)段和差可求得OB′,則可求得點(diǎn)B′的坐標(biāo);

        (3)由(1)、(2)可求得OC和OA,可求得矩形ABCO的面積.

        【解答】解:

        (1)∵直線(xiàn)y=﹣ x+8與y軸交于點(diǎn)為C,

        ∴令x=0,則y=8,

        ∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,8),

        ∴OC=8;

        (2)在矩形OABC中,AB=OC=8,∠A=90°,

        ∵AE=3,

        ∴BE=AB﹣BE=8﹣3=5,

        ∵是△CBE沿CE翻折得到的,

        ∴EB′=BE=5,

        在Rt△AB′E中,AB′= = =4,

        由點(diǎn)E在直線(xiàn)y=﹣ x+8上,設(shè)E(a,3),

        則有3=﹣ a+8,解得a=10,

        ∴OA=10,

        ∴OB′=OA﹣AB′=10﹣4=6,

        ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(0,6);

        (3)由(1),(2)知OC=8,OA=10,

        ∴矩形ABCO的面積為OC×OA=8×10=80.

        【點(diǎn)評(píng)】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)及方程思想等知識(shí)點(diǎn).在(1)中注意求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的方法,在(2)中求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.本題涉及知識(shí)點(diǎn)不多,綜合性不強(qiáng),難度不大,較容易得分.

        24.如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F(xiàn)是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.

        (1)求證:△ABM∽△EFA;

        (2)若AB=12,BM=5,求DE的長(zhǎng).

        【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

        【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出結(jié)論;

        (2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的長(zhǎng).

        【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

        ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,

        ∴∠AMB=∠EAF,

        又∵EF⊥AM,

        ∴∠AFE=90°,

        ∴∠B=∠AFE,

        ∴△ABM∽△EFA;

        (2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5,

        ∴AM= =13,AD=12,

        ∵F是AM的中點(diǎn),

        ∴AF= AM=6.5,

        ∵△ABM∽△EFA,

        ∴ ,

        即 ,

        ∴AE=16.9,

        ∴DE=AE﹣AD=4.9.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理;熟練掌握正方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

        25.如圖,矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)(不與點(diǎn)A、B重合),一直到達(dá)點(diǎn)B為止;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D移動(dòng)(不與點(diǎn)C、D重合).運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t秒.

        (1)若點(diǎn)P、Q均以3cm/s的速度移動(dòng),則:AP= 3t cm;QC= 3t cm.(用含t的代數(shù)式表示)

        (2)若點(diǎn)P為3cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q以2cm/s的速度移動(dòng),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間PD=PQ,使△DPQ為等腰三角形?

        (3)若點(diǎn)P、Q均以3cm/s的速度移動(dòng),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,四邊形BPDQ為菱形?

        【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

        【分析】(1)根據(jù)路程=速度×時(shí)間,即可解決問(wèn)題.

        (2)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E,利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì),DE= DQ,列出方程即可解決問(wèn)題.

        (3)當(dāng)PD=PB時(shí),四邊形BPDQ是菱形,列出方程即可解決問(wèn)題.

        【解答】解:(1)∵AP=3t,CQ=3t.

        故答案為3t,3t;

        (2)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E,

        ∴∠PED=90°,

        ∵PD=PQ,

        ∴DE= DQ

        在矩形ABCD中,∠A=∠ADE=90°,CD=AB=16cm

        ∴四邊形PEDA是矩形,

        ∴DE=AP=3t,

        又∵CQ=2t,

        ∴DQ=16﹣2t

        ∴由DE= DQ,

        ∴3t= ×(16﹣2t),

        ∴t=2

        ∴當(dāng)t=2時(shí),PD=PQ,△DPQ為等腰三角形

        (3)在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,AD=BC,依題知AP=CQ=3t

        ∴PB=DQ,

        ∴四邊形BPDQ是平行四邊形,

        當(dāng)PD=PB時(shí),四邊形BPDQ是菱形,

        ∴PB=AB﹣AP=16﹣3t

        在Rt△APD中,PD= = ,

        由PD=PB,

        ∴16﹣3t= ,

        ∴(16﹣3t)2=9t2+36,

        解得:

        ∴當(dāng) 時(shí),四邊形BPDQ是菱形.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題,路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系,菱形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn),構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.

        九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

        一.選擇題(共10小題,滿(mǎn)分30分)

        1.(3分)下列圖形中,既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是(  )

        A. B. C. D.

        2.(3分)下列方程中是一元二次方程的是(  )

        A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0

        3.(3分)一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是(  )

        A.x1=1,x2=6 B.x1=2,x2=3 C.x1=1,x2 =﹣6 D.x1=﹣1,x2=6

        4.(3分)拋物線(xiàn)y=3(x﹣1)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(  )

        A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)

        5.(3分)將拋物線(xiàn)y= x2﹣6x+21向左平移2個(gè)單位后,得到新拋 物線(xiàn)的解析式為(  )

        A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5

        C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3

        6.(3分)如圖,半 徑為5的⊙A中,弦BC,ED所對(duì)的圓心角分別是∠BAC,∠EAD,若DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,則弦BC的長(zhǎng)等于(  )

        A.8 B.10 C.11 D.12

        7.(3分)賓館有50間房供游客居住,當(dāng)毎間房每天定價(jià)為180元時(shí),賓館會(huì)住滿(mǎn);當(dāng)毎間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對(duì)居住的毎間房每天支出20元的費(fèi)用.當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元?設(shè)房?jī)r(jià)定為x元.則有(  )

        A.(180+x﹣20)(50﹣ )=10890

        B.(x﹣20)(50﹣ )=10890

        C.x(50﹣ )﹣50×20=10890

        D.(x+1 80)(50﹣ )﹣50×20=10890

        8.(3分)把一副三角板如圖(1)放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AB=4,CD=5.把三角板DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1(如圖2),此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O,則線(xiàn)段AD1的長(zhǎng)度為(  )

        A. B. C. D.4

        9.(3分)如圖已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB和AC于點(diǎn)E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有(  )

       ?、貯E=CF②∠APE=∠CPF ③△BEP≌△AFP④△EPF是等腰直角三角形⑤當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),S四邊形AEPF= S△ABC.

        A.2 B.3 C.4 D.5

        10.(3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸是x=﹣1.下列結(jié)論:①ab>0;②b2>4ac;③a﹣b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是(  )

        A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

        二.填空題(共6小題,滿(mǎn)分18分,每小題3分)

        11.(3分)若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一個(gè)根,則6m2﹣9m+2015的值為   .

        12.(3分)將一元二次方程x2﹣6x+5=0化成(x﹣a)2=b的形式,則ab=   .

        13.(3分)點(diǎn)A(﹣3,y1),B(2,y2),C(3,y3)在拋物線(xiàn)y=2x2﹣4x+c上,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是   .

        14.(3分)如圖,BD是⊙O的直徑,∠CBD=30°,則∠A的度數(shù)為   .

        15.(3分)如圖,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面內(nèi),將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′=   .

        16.(3分)二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣5的最小值是   .

        三.解答題(共9小題,滿(mǎn)分72分)

        17.(7分)解方程

        (1)x(x﹣2)+x﹣2=0

        (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2.

        18.(7分)已知,拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.

        (1)求拋物線(xiàn)的解析式;

        (2)當(dāng)a>0時(shí),如圖所示,若點(diǎn)D是第三象限拋物線(xiàn)上方的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,三角形ADC的面積為S,求出S與m的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出自變量m的取值范圍;請(qǐng)問(wèn)當(dāng)m為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少.

        19.(7分)如圖,在⊙O中,半徑OC⊥AB,垂足為點(diǎn)D,AB=12,OD=8,求⊙O半徑的長(zhǎng).

        20.(8分)已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根,求a2﹣a+b+3ab的值.

        21.(8分)如圖,在△ABC中,已知AB=AC,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)100°,得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.

        (1)求證:△ABD≌△ACE;

        (2)求∠ACE的度數(shù).

        22.(8分)如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),它們到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng).

        (1)幾秒后,點(diǎn)P、D的距離是點(diǎn)P、Q的距離的2倍;

        (2)幾秒后,△DPQ的面積是24cm2.

        23.(8分)某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)抓住商機(jī),購(gòu)進(jìn)一批干果分裝成營(yíng)養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售,每袋成本3元.試銷(xiāo)期間發(fā)現(xiàn)每天的銷(xiāo)售量y(袋)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用80元.

        銷(xiāo)售單價(jià)x(元) 3.5 5.5

        銷(xiāo)售量y(袋) 280 120

        (1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

        (2)如果每天獲得160元的利潤(rùn),銷(xiāo)售單價(jià)為多少元?

        (3)設(shè)每天的利潤(rùn)為w元,當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?

        24.(9分)我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點(diǎn)A逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當(dāng)α+β=180°時(shí),我們稱(chēng)△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線(xiàn)AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

        特例感知:

        (1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”.

       ?、偃鐖D2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=   BC;

        ②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時(shí),則AD長(zhǎng)為   .

        猜想論證:

        (2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

        25.(10分)如圖,拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,且OA=1,OB=3,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)Q.

        (1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式;

        (2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),且與直線(xiàn)CD相切,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

        (3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)M,使得△DCM∽△BQC?如果存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

        參考答案

        一.選擇題

        1 .C.

        2.C.

        3.D.

        4.A.

        5.D.

        6.A.

        7.B.

        8.A.

        9.D.

        10.C.

        二.填空題

        11.

        【解答】解:由題意可知:2m2﹣3m﹣1=0,

        ∴2m2﹣3m=1

        ∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018

        故答案為:2018

        12.

        【解答】解:x2﹣6x+5=0,

        x2﹣6x=﹣5,

        x2﹣6x+9=﹣5+9,

        (x﹣3)2=4,

        所以a=3,b=4,

        ab=12,

        故答案為:12.

        13.

        【解答】解:

        ∵y=2x2﹣4x+c,

        ∴當(dāng)x=﹣3時(shí),y1=2×(﹣3)2﹣4×(﹣3)+c=30+c,

        當(dāng)x=2時(shí),y2=2×22﹣4×2+c=c,

        當(dāng)x=3 時(shí),y3=2×32﹣4×3+c=6+c,

        ∵c<6+c<30+c,

        ∴y2

        故答案為:y2

        14.

        【解答】解:∵BD是⊙O的直徑,

        ∴∠BCD=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角),

        ∵∠CBD=30°,

        ∴∠D=60°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余),

        ∴∠A=∠D=60°(同弧所對(duì)的圓周角相等);

        故答案是:60°.

        15.

        【解答】解:由題意得:

        AC=AC′,

        ∴∠ACC′=∠AC′C;

        ∵CC′∥AB,且∠BAC=75°,

        ∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°,

        ∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°;

        由題意知:∠BAB′=∠CAC′=30°,

        故答案為30°.

        16.

        【解答】解:∵原式可化為y=x2﹣2x+1﹣6=(x﹣1)2﹣6,

        ∴最小值為﹣6.

        故答案為:﹣6

        三.解答題(共9小題,滿(mǎn)分72分)

        17.

        【解答】解:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0

        (x﹣2)(x+1)=0

        x﹣2=0或x+1=0

        x1=2,x2=﹣1;

        (2)(x﹣2)(x﹣5)=﹣2

        x2﹣7x+12=0

        (x﹣3)(x﹣4)=0

        x﹣3=0或x﹣4=0

        x1=3,x2=4.

        18.

        【解答】解:(1)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB,

        ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)或(0,﹣3),

        將點(diǎn)B(1,0)、C(0,3)或(0,﹣3)代入y=ax2+2ax+c,

        或 ,

        解得: 或 ,

        ∴拋 物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3.

        (2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸,交AC于點(diǎn)E,如圖所示.

        ∵a>1,

        ∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x﹣3,

        ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3).

        當(dāng)y=0時(shí),有x2+2x﹣3=0,

        解得:x1=﹣3,x2=1,

        ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),

        利用待定系數(shù)法可求出線(xiàn)段AC所在直線(xiàn)的解析式為y=﹣x﹣3.

        ∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,

        ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m2+2m﹣3),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,﹣m﹣3),

        ∴DE=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m,

        ∴S= DE×|﹣3﹣0|=﹣ (m2+m)(﹣3

        ∵﹣ <0,且S=﹣ (m2+ m)=﹣ (m+ )2+ ,

        ∴當(dāng)m=﹣ 時(shí),S取最大值,最大值為 .

        19.

        【解答】解:連接OA,如圖,

        ∵OC⊥AB,

        ∴AD=BD= AB= ×12=6,

        在Rt△AOD中,OA= = =10,

        即⊙O半徑的長(zhǎng)為10.

        20.

        【解答】解:∵a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個(gè)根,

        ∴a+b=2,ab=﹣1,a2﹣2a=1,

        a2﹣a+b+3ab=a2﹣2a+b+a+3ab=1+2﹣3=0.

        21.

        【解答】解:(1)由題意得:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,

        ∴∠BAD=∠CAE;

        在△ABD與△ACE中,

        ,

        ∴△ABD≌△ACE(SAS),

        (2)∵AC=AE,

        ∴∠ACE=∠AEC,而∠CAE=100°,

        ∴∠ACE= =40°.

        22.

        【解答】解:(1)設(shè)t秒后點(diǎn)P、D的距離是點(diǎn)P、Q距離的2倍,

        ∴PD=2PQ,

        ∵四邊形ABCD是矩形,

        ∴∠A=∠B=90°,

        ∴PD2=AP2+AD2,PQ2=BP2+BQ2,

        ∵PD2=4 PQ2,

        ∴82+(2t)2=4[(10﹣2t)2+t2],

        解得:t1=3,t2=7;

        ∵t=7時(shí)10﹣2t<0,

        ∴t=3,

        答:3秒后,點(diǎn)P、D的距離是點(diǎn)P、Q的距離的2倍;

        (2)設(shè)x秒后△DPQ的面積是24cm2,

        則 ×8×2x+ (10﹣2x)•x+ (8﹣x)×10=80﹣24,

        整理得x2﹣8x+16=0

        解得x1=x2=4.

        23.

        【解答】解:(1)設(shè)y=kx+b,

        將x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,

        得 ,解得 ,

        則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣80x+560;

        (2)由題意,得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160,

        整理,得x2﹣10x+24=0,

        解得x1=4,x2=6.

        ∵3.5≤x≤5.5,

        ∴x=4.

        答:如果每天獲得160元的利潤(rùn),銷(xiāo)售單價(jià)為4元;

        (3)由題意得:w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80

        =﹣80x2+800x﹣1760

        =﹣80(x﹣5)2+240,

        ∵3.5≤x ≤5.5,

        ∴當(dāng)x=5時(shí),w有最大值為240.

        故當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為5元時(shí),每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是240元.

        24.

        【解答】解:(1)①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC;

        理由:∵△ABC是等邊三角形,

        ∴AB=BC=AC=AB′=AC′,

        ∵DB′=DC′,

        ∴AD⊥B′C′,

        ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

        ∴∠B′AC′=120°,

        ∴∠B′=∠C′=30°,

        ∴AD= AB′= BC,

        故答案為 .

       ?、谌鐖D3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時(shí),則AD長(zhǎng)為4.

        理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,

        ∴∠B′AC′=∠BAC=90°,

        ∵AB=AB′,AC=AC′,

        ∴△BAC≌△B′AC′,

        ∴BC=B′C′,

        ∵B′D=DC′,

        ∴AD= B′C′= BC=4,

        故答案為4.

        (2)猜想 .

        證 明:如圖,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q,則△DQB'≌△DAC',

        ∴QB'=AC',QB'∥AC',

        ∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,

        ∵∠BAC+∠B'AC'=180°,

        ∴∠QB'A=∠BAC,

        又由題意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,

        ∴△AQB'≌△BCA,

        ∴AQ=BC=2AD,

        即 .

        25.

        【解答】解:(1)∵OA=1,OB=3,

        ∴A(﹣1,0),B(3,0).

        代入y=﹣x2+bx+c,得

        解得 b=2,c=3.

        ∴拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3;

        (2)如圖,設(shè)直線(xiàn)CD切⊙P于點(diǎn)E.連結(jié)PE、PA,作CF⊥DQ于點(diǎn)F.

        ∴PE⊥CD,PE=PA.

        由y=﹣x2+2x+3,得

        對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1,C(0,3)、D(1,4).

        ∴DF=4﹣3=1,CF=1,

        ∴DF=CF,

        ∴△DCF為等腰直角三角形.

        ∴∠CDF=45°,

        ∴∠EDP=∠EPD=45°,

        ∴DE=EP,

        ∴△DEP為等腰三角形.

        設(shè)P(1,m),

        ∴EP2= (4﹣m)2.

        在△APQ中,∠PQA=90°,

        ∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2

        ∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.

        整理,得m2+8m﹣8=0

        解得,m=﹣4±2 .

        ∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,﹣4+2 )或(1,﹣4﹣2 ).

        (3)存在點(diǎn)M,使得△DCM∽△BQC .

        如圖,連結(jié)CQ、CB、CM,

        ∵C(0,3),OB=3,∠COB=90°,

        ∴△COB為等腰直角三角形,

        ∴∠CBQ=45°,BC=3 .

        由(2)可知,∠CDM=45°,CD= ,

        ∴∠CBQ=∠CDM.

        ∴△DCM∽△BQC分兩種情況.

        當(dāng) = 時(shí),

        ∴ = ,解得 DM= .

        ∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .

        ∴M1(1, ).

        當(dāng) 時(shí),

        ∴ = ,解得 DM=3.

        ∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.

        ∴M2(1,1).

        綜上,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, )或(1,1).


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