初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識題庫
做八年級數(shù)學單元試題要多練、多思;做題目應知難而進。這是學習啦小編整理的初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識題庫，希望你能從中得到感悟!
初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識試題
一、填空題(本題有10個小題，每小題4分，共40分)
1.三角形中，若一個角等于其他兩個角的差，則這個三角形是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形
2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為( )
A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°
5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
6.到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的( )
A.三條中線交點 B.三條角平分線交點
C.三條高的交點 D.三條邊的垂直平分線交點
7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為( )
A.35° B.25° C.45° D.55°
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點O.現(xiàn)有以下結論：
①DE∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .
其中正確結論的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、認真填一填(本題有8個小題，每小題4分，共32分)
11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有 個.
12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為 .
13.在△ABC中，點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，連接DE，若BC=4，則DE= .
14.如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN=32m，則A，B兩點間的距離是 m.
15.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .
16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC= °.
17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 度，∠4+∠5+∠6= 度.
18.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則
(1)θ1= ;
(2)θn= .
三、解答題(本題有8個小題，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)
19.已知：如圖，點A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.
求證：BC=DE.
20.三角形內(nèi)角和等于 .
(2)請證明以上命題.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.
22.如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.
(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);
(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計算說明猜想是否成立.
23.已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD.
求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關系，并證明.
24.在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.
25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.
若∠A=80°，則∠BEC= ;若∠A=n°，則∠BEC= .
探究：
(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC= ;
(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC= ;
(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC= .
26.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識參考答案
一、填空題(本題有10個小題，每小題4分，共40分)
1.三角形中，若一個角等于其他兩個角的差，則這個三角形是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形
【考點】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】三角形三個內(nèi)角之和是180°，三角形的一個角等于其它兩個角的差，列出兩個方程，即可求出答案.
【解答】解：設三角形的三個角分別為：a°、b°、c°，
則由題意得： ，
解得：a=90，
故這個三角形是直角三角形.故選：B.
【點評】本題主要考查了直角三角形的有關性質，可利用方程進行求解.關鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°.
2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【考點】三角形三邊關系;解一元一次不等式組.
【分析】已知兩邊時，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和.這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值.
【解答】解：5﹣4
【點評】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.
3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
【考點】全等三角形的判定.
【分析】本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能.
【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項不符合題意;
B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項不符合題意;
C、添加∠BCA=∠DCA時，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項符合題意;
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項不符合題意;
故選：C.
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.
4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為( )
A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°
【考點】平行線的性質.
【分析】根據(jù)平行線的性質求出∠EOB，根據(jù)三角形的外角性質求出即可.
【解答】解：設AB、CE交于點O.
∵AB∥CD，∠C=65°，
∴∠EOB=∠C=65°，
∵∠E=30°，
∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，
故選：C.
【點評】本題考查了平行線的性質和三角形的外角性質的應用，解此題的關鍵是求出∠EOB的度數(shù)和得出∠A=∠EOB﹣∠E.
5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
【考點】三角形的外角性質;平行線的性質.
【專題】計算題.
【分析】因為AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC.又因為∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C.
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，
∴∠A=∠AOC(內(nèi)錯角相等)，
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，
∴∠C=50°÷2=25°.
故選B.
【點評】本題比較簡單，考查的是平行線的性質及三角形內(nèi)角與外角的關系.
6.到△ABC的三條邊距離相等的點是△ABC的( )
A.三條中線交點 B.三條角平分線交點
C.三條高的交點 D.三條邊的垂直平分線交點
【考點】角平分線的性質.
【分析】由于角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，而已知一點到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點在這個三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇.
【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，
∴這點在這個三角形三條角平分線上，
即這點是三條角平分線的交點.
故選B.
【點評】此題主要考查了三角形的角平分線的性質：三條角平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.
7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為( )
A.35° B.25° C.45° D.55°
【考點】平行線的性質;直角三角形的性質.
【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠EDC的度數(shù)，再由平行線的性質得出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù).
【解答】解：∵∠1=145°，
∴∠EDC=180°﹣145°=35°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=35°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，
∴∠B=180°﹣90°﹣35°=55°.
故選：D.
【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】全等三角形的判定.
【分析】因為AB=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點，BF=F，又因為BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根據(jù)SSS或HL可得.
【解答】解：因為AB=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點，BF=FC，又因為BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，
因為AB=AC，AF⊥BC，AF=AF，根據(jù)HL，可得△ABF≌△AFC;
AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根據(jù)HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE;
AD=AE，BD=EC，AB=AC，根據(jù)SSS可得△ABD≌△ACE;
AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根據(jù)HL可得△ADF≌△AEF;
AB=AC，AD=AE，BE=CD，根據(jù)SSS可得△ABE≌△ACD;所以有4對全等三角形.
故選D.
【點評】本題考查了全等三角形的判定;要注意的問題是：不要忽視△ABE≌△ACD.做題時要從已知條件開始思考，結合圖形，利用全等三角形的判定方法由易到難逐個尋找，做到不重不漏.
9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
【考點】平行線的性質;三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADE=∠BAD.
【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°.
故選：C.
【點評】本題考查了平行線的性質，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質與概念是解題的關鍵.
10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點O.現(xiàn)有以下結論：
?、貲E∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .
其中正確結論的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】三角形中位線定理;相似三角形的判定與性質.
【分析】①根據(jù)三角形中位線定理進行判斷;
?、谟上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應邊成比例、三角形中線的定義進行判斷;
?、塾上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應邊成比例進行判斷;
?、苡上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的面積之比等于相似比的平方進行判斷.
【解答】解：①如圖，∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC.
故①正確;
?、谌鐖D，∵由①知，DE∥BC，
∴△ADO∽△ABF，
∴ = = ，
則OD= BF.
又AF是BC邊上的中線，
∴BF=CF= BC，
∴OD= BC.
故②正確;
③∵由②知，△ADO∽△ABF，
∴ = = ，
∴AO= AF，
∴AO=FO.
故③正確;
?、堋哂散谥?，△ADO∽△ABF，
∴ =( )2=( )2= ，
∴S△AOD= S△ABF.
又∵AF是BC邊上的中線，
∴S△ABF= S△ABC，
∴S△AOD= S△ABC.
故④錯誤.
綜上所述，正確的結論是①②③，共3個.
故選：C.
【點評】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質.此題利用了“相似三角形的對應邊成比例、相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的性質.
二、認真填一填(本題有8個小題，每小題4分，共32分)
11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有 5 個.
【考點】三角形三邊關系;一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】設第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關系的定理可以確定x的取值范圍，進而得到答案.
【解答】解：設第三邊的長為x，則
4﹣3
所以1
∵x為整數(shù)，
∴x可取2，3，4，5，6.
故答案為5.
【點評】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.三角形的兩邊差小于第三邊.
12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為 130° .
【考點】全等三角形的性質.
【分析】根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠C=∠A，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.
【解答】解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°.
故答案為：130°.
【點評】本題考查了全等三角形的性質，四邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對應頂點的字母寫在對應位置上確定出∠C=∠A是解題的關鍵.
13.在△ABC中，點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，連接DE，若BC=4，則DE= 2 .
【考點】三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE= BC.
【解答】解：∵點D是AB邊的中點，點E是AC邊的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC= ×4=2.
故答案為：2.
【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關鍵.
14.如圖，為估計池塘岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN=32m，則A，B兩點間的距離是 64 m.
【考點】三角形中位線定理.
【專題】應用題.
【分析】根據(jù)M、N是OA、OB的中點，即MN是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解.
【解答】解：∵M、N是OA、OB的中點，即MN是△OAB的中位線，
∴MN= AB，
∴AB=2MN=2×32=64(m).
故答案為：64.
【點評】本題考查了三角形的中位線定理應用，正確理解定理是解題的關鍵.
15.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= 6 .
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質可得AC=DF=6.
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF=6.
故答案是：6.
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，應熟練掌握.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點A落在點A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC= 136 °.
【考點】翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理.
【分析】先利用內(nèi)角和定理求∠C，根據(jù)三角形的中位線定理可知MN∥BC，由平行線的性質可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差關系求∠A′NC.
【解答】解：∵∠A=28°，∠B=120°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣28°﹣130°=22°，
∵MN是三角形的中位線，
∴MN∥BC，
∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣22°=158°，
∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=158°﹣22°=136°.
故答案為：136.
【點評】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵.
17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 180 度，∠4+∠5+∠6= 360 度.
【考點】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角和定理解答.
【解答】解：∠1+∠2+∠3=180°，
∠4+∠5+∠6=360°.
故答案為：180，360.
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角和定理，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵.
18.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則
(1)θ1= ;
(2)θn= .
【考點】等腰三角形的性質.
【專題】壓軸題;規(guī)律型.
【分析】設∠A1B1O=x，根據(jù)等腰三角形性質和三角形內(nèi)角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1= ;同理求得θ2= ;即可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得答案.
【解答】解：(1)設∠A1B1O=x，
則α+2x=180°，x=180°﹣θ1，
∴θ1= ;
(2)設∠A2B2B1=y，
則θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，
∴θ2= ;
…
θn= .
故答案為：(1) ;(2)θn= .
【點評】此題主要考查學生對等腰三角形性質和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關鍵是總結歸納出規(guī)律.
三、解答題(本題有8個小題，共78分.解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)
19.已知：如圖，點A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.
求證：BC=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)由兩個角和其中一角的對邊相等的兩個三角形全等證明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質即可得到BC=DE.
【解答】證明：∵AB∥EC，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CDE中， ，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，全等三角形角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
20.(1)三角形內(nèi)角和等于 180° .
(2)請證明以上命題.
【考點】三角形內(nèi)角和定理;平行線的性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結論即可;
(2)畫出△ABC，過點C作CF∥AB，再根據(jù)平行線的性質得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通過等量代換即可得出結論.
【解答】解：(1)三角形內(nèi)角和等于180°.
故答案為：180°;
(2)已知：如圖所示的△ABC，
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
證明：過點C作CF∥AB，
∵CF∥AB，
∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，
∵∠1+∠2=∠BCF，
∴∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形內(nèi)角和等于180°.
【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關鍵.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質和角平分的性質進行解答;
(2)通過證△ACD≌△ECD來推知DA=DE.
【解答】(1)解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD= ∠CAB=30°，即∠CAD=30°;
(2)證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD與△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DA=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質.在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形.
22.(2013秋•云浮期末)如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.
(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);
(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計算說明猜想是否成立.
【考點】作圖—基本作圖;等腰三角形的判定.
【分析】(1)利用尺規(guī)作圖平分已知角即可;
(2)利用等腰三角形的性質及角平分線的性質分別得到AD=DB，BD=BC即可得到等腰三角形.
【解答】解：(1)如圖所示：BD即為所求;
(2)∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC，
∴△ABD和△BDC都是等腰三角形.
【點評】本題考查了基本作圖中的平分已知角及等腰三角形的判定的知識，屬于基礎題，難度不大.
23.(2015•黃岡模擬)已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD.
求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關系，并證明.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題;探究型.
【分析】要證(1)△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得.(2)BD、CE有何特殊位置關系，從圖形上可看出是垂直關系，可向這方面努力.要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供.
【解答】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE.
證明如下：由(1)知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°.
∴∠ADB+∠ADE=90°.
即∠BDE=90°.
∴BD、CE特殊位置關系為BD⊥CE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質;全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細觀察，認真推敲方可.做題時，有時需要先猜后證.
24.(2014•杭州)在△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF.
【解答】解：在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的對應角相等)，
∴BF=CE(全等三角形的對應邊相等)，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP(AAS)，
∴PB=PC，
∵BF=CE，
∴PE=PF，
∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，是基礎題，難度不大.
25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.
若∠A=80°，則∠BEC= 130° ;若∠A=n°，則∠BEC= 90°+ n° .
探究：
(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC= 60°+ n° ;
(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC= n° ;
(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC= 90°﹣ n° .
【考點】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質.
【分析】試題分析：問題：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可.
探究：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可.
(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關系.
(3)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
【解答】解：問題：如圖1，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB(角平分線的定義)，
∴∠BEC=180°﹣(∠EBC+∠ECB)
=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)
=180°﹣ (180°﹣∠A)
=90°+ ∠A;
若∠A=80°，則∠BEC=130°;若∠A=n°，則∠BEC=90°+ n°.
探究：(1)如圖2，
∵線段BD、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC= ∠ABC;
又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB= ∠ACB;
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°﹣∠A)，
∴∠BEC=180°﹣ (180°﹣∠A)=60°+∠A，
若∠A=n°，則∠BEC=60°+ n°;
(2)如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ACE= ∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC= ∠A+∠EBC﹣∠EBC= ∠A;
若∠A=n°，則∠BEC= n°;
(3)如圖4，
∵∠EBC= (∠A+∠ACB)，∠ECB= (∠A+∠ABC)，
∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，=180°﹣ (∠A+∠ACB)﹣ (∠A+∠ABC)
=180°﹣ ∠A﹣ (∠A+∠ABC+∠ACB)=90°﹣∠A=90°﹣ n°.
故答案為問題：130°;90°+ n°;探究：(1) ;(2) n°;(3)90°﹣ n°.
【點評】本題考查了三角形的外角性質與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵.
26.(2014•南京)【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點】全等三角形的判定與性質;作圖—應用與設計作圖.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明;
(2)過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等;
(3)以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等;
(4)根據(jù)三種情況結論，∠B不小于∠A即可.
【解答】(1)解：HL;
(2)證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖，△DEF和△ABC不全等;
(4)解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF.
故答案為：(1)HL;(4)∠B≥∠A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細.
看了“初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識題庫”的人還看了：
初中八年級數(shù)學上冊第1章三角形的初步認識題庫
