初二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題人教版
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初二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
一.選擇題：(每小題4分，滿分40分，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填寫(xiě)在選擇題的答題欄內(nèi))
1.在下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是( )
A.0 B. C. D.7
2.若x>y，則下列不等式成立的是( )
A.x﹣3
3.若等腰三角形底角為72°，則頂角為( )
A.108° B.72° C.54° D.36°
4.當(dāng)x=2015時(shí)，分式 的值是( )
A. B. C. D.
5.已知△ABC中，2(∠B+∠C)=3∠A，則∠A的度數(shù)是( )
A.54° B.72° C.108° D.144°
6.把某不等式組中兩個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則這個(gè)不等式組可能是( )
A. B. C. D.
7.不等式組 的最小整數(shù)解是( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.2
8.如圖所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么圖中的全等三角形有( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
9.已知關(guān)于x的方程 的解為x=1，則a等于( )
A.0.5 B.2 C.﹣2 D.﹣0.5
10.若a=1+ ，b=1﹣ ，則代數(shù)式 的值為( )
A.3 B.±3 C.5 D.9
二.填空題：(每小題3分，滿分24分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在填空題的答題欄內(nèi))
11.化簡(jiǎn)： ﹣ =__________.
12.計(jì)算：5÷ × 所得的結(jié)果是__________.
13.金園小區(qū)有一塊長(zhǎng)為18m，寬為8m的長(zhǎng)方形草坪，計(jì)劃在草坪面積不變的情況下，把它改造成正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是__________m.
14.已知不等式2x+★>2的解集是x>﹣4，則“★”表示的數(shù)是__________.
15.一個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃用6天完成300土方的工程，實(shí)際上第一天就完成了60方土，因進(jìn)度需要，剩下的工程所用的時(shí)間不能超過(guò)3天，那么以后幾天平均至少要完成的土方數(shù)是__________.
16.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延長(zhǎng)BC到D，則∠ACD=__________°.
17.如圖，在△ADC中，AD=BD=BC，∠C=30°，則∠ADB=__________.
18.A、B兩地相距60km，甲騎自行車(chē)從A地到B地，出發(fā)1h后，乙騎摩托車(chē)從A地到B地，且乙比甲早到3h，已知甲、乙的速度之比為1：3，則甲的速度是__________.
三.解答題：(請(qǐng)寫(xiě)出主要的推導(dǎo)過(guò)程)
19.解不等式組 并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
20.已知x= +1，y= ﹣1，求 的值.
21.已知：2x+y+7的立方根是3，16的算術(shù)平方根是2x﹣y，求：
(1)x、y的值;
(2)x2+y2的平方根.
22.若不等式組 的解集為﹣2
23.如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù).
24.某公司決定從廠家購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種不同型號(hào)的顯示器共50臺(tái)，購(gòu)進(jìn)顯示器的總金額不超過(guò)77000元，已知甲、乙型號(hào)的顯示器價(jià)格分別為1000元/臺(tái)、2000元/臺(tái).
(1)求該公司至少購(gòu)買(mǎi)甲型顯示器多少臺(tái)?
(2)若要求甲型顯示器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)乙型顯示器的臺(tái)數(shù)，問(wèn)有哪些購(gòu)買(mǎi)方案?
25.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB.
(1)求證：△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù);
(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?
初二數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題人教版參考答案
一.選擇題：(每小題4分，滿分40分，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填寫(xiě)在選擇題的答題欄內(nèi))
1.在下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是( )
A.0 B. C. D.7
【考點(diǎn)】無(wú)理數(shù).
【分析】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù).由此即可判定選擇項(xiàng).
【解答】解：A、0是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、 是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、 是無(wú)理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、7是整數(shù)，是有理數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等;開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù);以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).
2.若x>y，則下列不等式成立的是( )
A.x﹣3
【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì).
【分析】根據(jù)不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.
【解答】解：A、不等式的兩邊都減3，不等號(hào)的方向不變，故A錯(cuò)誤;
B、不等式的兩邊都加5，不等號(hào)的方向不變，故B正確;
C、不等式的兩邊都除以3，不等號(hào)的方向不變，故C錯(cuò)誤;
D、不等式的兩邊都乘以﹣2，不等號(hào)的方向改變，故D錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了不等式的基本性質(zhì).“0”是很特殊的一個(gè)數(shù)，因此，解答不等式的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進(jìn)“0”的陷阱.不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.
3.若等腰三角形底角為72°，則頂角為( )
A.108° B.72° C.54° D.36°
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以計(jì)算其頂角的度數(shù).
【解答】解：∵等腰三角形底角為72°
∴頂角=180°﹣(72°×2)=36°
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)計(jì)算.
4.當(dāng)x=2015時(shí)，分式 的值是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【專(zhuān)題】計(jì)算題;分式.
【分析】原式約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：原式= = ，
當(dāng)x=2015時(shí)，原式= .
故選C
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
5.已知△ABC中，2(∠B+∠C)=3∠A，則∠A的度數(shù)是( )
A.54° B.72° C.108° D.144°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知條件得出方程，解方程即可.
【解答】解：∵2(∠B+∠C)=3∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2(180°﹣∠A)=3∠A，
解得：∠A=72°.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵.
6.把某不等式組中兩個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則這個(gè)不等式組可能是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】本題根據(jù)數(shù)軸可知x的取值為：﹣1≤x<4，將不等式變形，即可得出關(guān)于x的不等式組.把各個(gè)選項(xiàng)的解的集合寫(xiě)出，進(jìn)行比較就可以得到.
【解答】解：依題意得這個(gè)不等式組的解集是：﹣1≤x<4.
A、 無(wú)解，故A錯(cuò)誤;
B、 解集是：﹣1≤x<4，故B正確;
C、 解集是：x>4，故C錯(cuò)誤;
D、解集是：﹣1
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】考查不等式組解集的表示方法.實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，>向右、<向左.
7.不等式組 的最小整數(shù)解是( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.2
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解.
【專(zhuān)題】計(jì)算題;一元一次不等式(組)及應(yīng)用.
【分析】求出不等式組的解集，確定出最小的整數(shù)解即可.
【解答】解：不等式組整理得： ，
解得：﹣
則不等式組的最小整數(shù)解是0，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.
8.如圖所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么圖中的全等三角形有( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)及全等三角形的判定方法來(lái)確定圖中存在的全等三角形共有三對(duì)：△ABC≌△DCB，△ABE≌△CDE，△BFE≌△CFE.再分別進(jìn)行證明.
【解答】解：∵AB∥EF∥DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∵ ，
∴△ABC≌△DCB(SAS);
在△ABE和△CDE中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDE(AAS);
在△BFE和△CFE中，
∵ ，
∴△BFE≌△CFE.
∴圖中的全等三角形共有3對(duì).
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
9.已知關(guān)于x的方程 的解為x=1，則a等于( )
A.0.5 B.2 C.﹣2 D.﹣0.5
【考點(diǎn)】分式方程的解.
【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=1代入原方程，原方程左右兩邊相等，從而原方程轉(zhuǎn)化為含a的新方程，解此新方程可以求得a的值.
【解答】解：把x=1代入方程 得：
= ，
解得：a=﹣0.5;
經(jīng)檢驗(yàn)a=﹣0.5是原方程的解;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，由已知解代入原方程得到新方程，然后再解答.
10.若a=1+ ，b=1﹣ ，則代數(shù)式 的值為( )
A.3 B.±3 C.5 D.9
【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先把所求的式子化成 的形式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可.
【解答】解：原式= = = =3.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確對(duì)所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.
二.填空題：(每小題3分，滿分24分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在填空題的答題欄內(nèi))
11.化簡(jiǎn)： ﹣ = .
【考點(diǎn)】分式的加減法.
【專(zhuān)題】計(jì)算題.
【分析】直接根據(jù)分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：原式=
= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減.
12.計(jì)算：5÷ × 所得的結(jié)果是1.
【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.
【分析】由于二次根式的乘除運(yùn)算是同級(jí)運(yùn)算，從左到右依次計(jì)算即可.
【解答】解：原式= × =1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次根式的乘除法運(yùn)算;由于后兩項(xiàng)互為倒數(shù)，有些同學(xué)往往先將它們約分，從而得出結(jié)果為5的錯(cuò)誤結(jié)論，需注意的是同級(jí)運(yùn)算要從左到右依次計(jì)算.
13.金園小區(qū)有一塊長(zhǎng)為18m，寬為8m的長(zhǎng)方形草坪，計(jì)劃在草坪面積不變的情況下，把它改造成正方形，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12m.
【考點(diǎn)】算術(shù)平方根.
【專(zhuān)題】計(jì)算題;實(shí)數(shù).
【分析】設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是xm，根據(jù)題意列出方程，利用平方根定義開(kāi)方即可得到結(jié)果.
【解答】解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是xm，
根據(jù)題意得：x2=18×8=144，
開(kāi)方得：x=12(負(fù)值舍去)，
則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12m，
故答案為：12
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.
14.已知不等式2x+★>2的解集是x>﹣4，則“★”表示的數(shù)是10.
【考點(diǎn)】不等式的解集.
【分析】設(shè)“★”表示的數(shù)a，則不等式是2x+a>2，解不等式利用a表示出不等式的解集，則可以得到一個(gè)關(guān)于a的方程，求得a的值.
【解答】解：設(shè)“★”表示的數(shù)a，則不等式是2x+a>2，
移項(xiàng)，得2x>2﹣a，
則x> .
根據(jù)題意得： =﹣4，
解得：a=10.
故答案是：10.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了一元一次不等式組解集的求法，解答此題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)，在不等式兩邊同加或同減一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變，在不等式兩邊同乘或同除一個(gè)正數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變?cè)诓坏仁絻蛇呁嘶蛲粋€(gè)負(fù)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向改變.
15.一個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃用6天完成300土方的工程，實(shí)際上第一天就完成了60方土，因進(jìn)度需要，剩下的工程所用的時(shí)間不能超過(guò)3天，那么以后幾天平均至少要完成的土方數(shù)是80.
【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】假設(shè)以后幾天平均每天完成x土方，一個(gè)工程隊(duì)規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么該土方工程還剩300﹣60=240土方，利用剩下的工程所用的時(shí)間不能超過(guò)3天，則列不等式方程 ≤3，解得x即可知以后平均每天至少完成多少土方.
【解答】解：設(shè)以后幾天平均每天完成x土方.
由題意得：3x≥300﹣60
解得：x≥80
答：以后幾天平均至少要完成的土方數(shù)是80土方.
故答案為：80.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解本類(lèi)工程問(wèn)題，主要是找準(zhǔn)正確的工程不等式(如本題 ≤3以天數(shù)做為基準(zhǔn)列不等式).
16.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延長(zhǎng)BC到D，則∠ACD=80°.
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì).
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°.
故答案為：80.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
17.如圖，在△ADC中，AD=BD=BC，∠C=30°，則∠ADB=60°.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠BDC，利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠A和∠ABD的度數(shù)，從而確定∠ADB的度數(shù).
【解答】解：∵BD=BC，∠C=30°，
∴∠C=∠BDC=30°，
∴∠ABD=∠C+∠BDC=60°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA=60°，
∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠DBA=60°，
答案為：60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答過(guò)程中兩次運(yùn)用“等邊對(duì)等角”，難度不大.
18.A、B兩地相距60km，甲騎自行車(chē)從A地到B地，出發(fā)1h后，乙騎摩托車(chē)從A地到B地，且乙比甲早到3h，已知甲、乙的速度之比為1：3，則甲的速度是10km/h.
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】本題的等量關(guān)系是路程=速度×時(shí)間，根據(jù)“甲騎自行車(chē)從A地出發(fā)到B地，出發(fā)1h后，乙騎摩托車(chē)從A地到B地，且乙比甲早到3h”可知：甲比乙多用了4小時(shí)，可根據(jù)此條件列出方程求解.
【解答】解：設(shè)甲的速度為xkm/h，則乙的速度為3xkm/h，
依題意，有 +4，
解這個(gè)方程，得x=10，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解，
當(dāng)x=10時(shí)，3x=30.
答：甲的速度為10km/h，乙的速度為30km/h.
故答案為：10km/h
【點(diǎn)評(píng)】此題考查分式方程的應(yīng)用問(wèn)題，列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，這是列方程的依據(jù).
三.解答題：(請(qǐng)寫(xiě)出主要的推導(dǎo)過(guò)程)
19.解不等式組 并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組;在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
【解答】解：不等式組 ，
解①得：x≥﹣3，
解②得：x<4，
則不等式組的解集為﹣3≤x<4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式組的解法，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)(>，≥向右畫(huà);<，≤向左畫(huà))，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示;“<”，“>”要用空心圓點(diǎn)表示.
20.已知x= +1，y= ﹣1，求 的值.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值;二次根式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】由條件可得x+y，x﹣y，xy的值，再把以上數(shù)值代入化簡(jiǎn)的結(jié)果即可.
【解答】解：由題意得：x+y=2 ，x﹣y=2，xy=1，
原式=
=
=
=4 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有二次根式的分式化簡(jiǎn)求值，在其求值過(guò)程要注意：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.
21.已知：2x+y+7的立方根是3，16的算術(shù)平方根是2x﹣y，求：
(1)x、y的值;
(2)x2+y2的平方根.
【考點(diǎn)】立方根;平方根;算術(shù)平方根.
【專(zhuān)題】計(jì)算題;實(shí)數(shù).
【分析】(1)利用立方根，算術(shù)平方根的定義求出x與y的值即可;
(2)把x與y的值代入原式，求出平方根即可.
【解答】解：(1)依題意 ，
解得： ;
(2)x2+y2=36+64=100，100的平方根是±10.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方根，平方根，以及算術(shù)平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.
22.若不等式組 的解集為﹣2
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.
【分析】首先解不等式組，利用a和b表示出不等式組的解集，然后得到關(guān)于a和b的方程組，從而解答a、b的值，代入求解.
【解答】解：由 得
∴
解得
∴a+b=﹣1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式組的解法以及二元一次方程組的解法，正確利用a和b表示出不等式組的解集是關(guān)鍵.
23.如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù).
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).
【分析】由∠B=75°，∠C=45°，利用三角形內(nèi)角和求出∠BAC.又AE平分∠BAC，求出∠BAE、∠CAE.再利用AD是BC上的高在△ABD中求出∠BAD，此時(shí)就可以求出∠DAE.最后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出∠AEC.
【解答】解：方法1：
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC= ×60°=30°，
∵AD是BC上的高，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣75°=15°，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=30°﹣15°=15°，
在△AEC中，∠AEC=180°﹣∠C﹣∠CAE=180°﹣45°﹣30°=105°;
方法2：同方法1，得出∠BAC=60°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= ×60°=30°.
∵AD是BC上的高，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠CAD=90°﹣45°=45°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=45°﹣30°=15°.
∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，
∴∠AEC+30°+45°=180°，
∴∠AEC=105°.
答：∠DAE=15°，∠AEC=105°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角，外角以及和它們相關(guān)的一些結(jié)論，圖形比較復(fù)雜，對(duì)于學(xué)生的視圖能力要求比較高.
24.某公司決定從廠家購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種不同型號(hào)的顯示器共50臺(tái)，購(gòu)進(jìn)顯示器的總金額不超過(guò)77000元，已知甲、乙型號(hào)的顯示器價(jià)格分別為1000元/臺(tái)、2000元/臺(tái).
(1)求該公司至少購(gòu)買(mǎi)甲型顯示器多少臺(tái)?
(2)若要求甲型顯示器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)乙型顯示器的臺(tái)數(shù)，問(wèn)有哪些購(gòu)買(mǎi)方案?
【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)該公司購(gòu)進(jìn)甲型顯示器x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)乙型顯示器(50﹣x)臺(tái)，根據(jù)兩種顯示器的總價(jià)不超過(guò)77000元建立不等式，求出其解即可;
(2)由甲型顯示器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)乙型顯示器的臺(tái)數(shù)可以建立不等式x≤50﹣x與(1)的結(jié)論構(gòu)成不等式組，求出其解即可.
【解答】解：(1)設(shè)該公司購(gòu)進(jìn)甲型顯示器x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)乙型顯示器(50﹣x)臺(tái)，由題意，得
1000x+2000(50﹣x)≤77000
解得：x≥23.
∴該公司至少購(gòu)進(jìn)甲型顯示器23臺(tái).
(2)依題意可列不等式：
x≤50﹣x，
解得：x≤25.
∴23≤x≤25.
∵x為整數(shù)，
∴x=23，24，25.
∴購(gòu)買(mǎi)方案有：
?、偌仔惋@示器23臺(tái)，乙型顯示器27臺(tái);
?、诩仔惋@示器24臺(tái)，乙型顯示器26臺(tái);
?、奂仔惋@示器25臺(tái)，乙型顯示器25臺(tái).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元一次不等式解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一元一次不等式的解法的運(yùn)用，方案設(shè)計(jì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件的不相等關(guān)系建立不等式是關(guān)鍵.
25.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB.
(1)求證：△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù);
(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)求出EC=DB，∠B=∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF即可;
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=70°，根據(jù)全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案;
(3)根據(jù)等腰直角三角形得出∠DEF=90°，求出∠B=90°，∠C=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案.
【解答】(1)證明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中
∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形;
(2)解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由(1)知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°﹣∠B=110°，
∴∠DEF=180°﹣(∠DEB+∠FEC)=70°;
(3)解：∵若△DEF是等腰直角三角形，則∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.
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