蘇教版初三數(shù)學(xué)上冊期末試卷(2)
蘇教版初三數(shù)學(xué)上冊期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項的字母代號填在下表中相應(yīng)的題號下)
1.如果一元二次方程x2﹣ax+6=0經(jīng)配方后，得(x+3)2=3，則a的值為( )
A.3 B.﹣3 C.6 D.﹣6
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題;一次方程(組)及應(yīng)用.
【分析】配方的結(jié)果變形后，比較即可確定出a的值.
【解答】解：由(x+3)2=3，得到x2+6x+9=3，即x2+6x+6=0，
∵方程x2﹣ax+6=0經(jīng)配方后，得(x+3)2=3，
∴x2﹣ax+6=x2+6x+6，
則a=﹣6，
故選D
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
2.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，則cosA的值為( )
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)余弦的定義計算即可.
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=3，
則cosA= = ，
故選：A.
【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.
3.若關(guān)于x的方程x2+2x﹣k=0無實數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1 B.k<﹣1 C.k>1 D.k<1
【考點】根的判別式.
【分析】關(guān)于x的方程x2﹣2x+k=0沒有實數(shù)根，即判別式△=b2﹣4ac<0.即可得到關(guān)于k的不等式，從而求得k的范圍.
【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣k，
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣k)=4+4k<0，
解得：k<﹣1，
故選B.
【點評】本題主要考查了根的判別式的知識，解答本題要掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
4.已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面積與△DEF的面積之比為4：9，則AB：DE=( )
A.4：9 B.2：3 C.16：81 D.9：4
【考點】相似三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的面積與△DEF的面積之比為4：9，
∴△ABC與△DEF的相似比為2：3，
∴AB：DE=2：3，
故選：B.
【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.
5.⊙O的直徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【考點】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】先求出⊙O的半徑，再根據(jù)圓心O到直線l的距離為2即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵⊙O的直徑是3，
∴⊙O的半徑r=1.5，
∵圓心O到直線l的距離為2，2>1.5，
∴直線l與⊙O相離.
故選A.
【點評】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，d>r時，圓和直線相離;d=r時，圓和直線相切;d
6.若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點P(﹣2，4)，則該圖象必經(jīng)過點( )
A.(﹣4，2) B.(4，﹣2) C.(2，4) D.(﹣2，﹣4)
【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答.
【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸，
∴若圖象經(jīng)過點P(﹣2，4)，
則該圖象必經(jīng)過點(2，4).
故選：C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對稱性，確定出函數(shù)圖象的對稱軸為y軸是解題的關(guān)鍵.
7.有x支球隊參加中國足球超級聯(lián)賽，每隊都與其余各隊比賽兩場，如果比賽總場次為240場，問一共有多少只球隊參賽，則可列方程為( )
A.x(x﹣1)=240 B.x(x﹣1)=480 C.x(x﹣2)=240 D.x(x﹣2)=480
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】根據(jù)每隊都與其余各隊比賽2場，等量關(guān)系為：隊的個數(shù)×(隊的個數(shù)﹣1)=240，把相關(guān)數(shù)值代入即可.
【解答】解：設(shè)共有x個隊參加比賽.
x(x﹣1)=240，
故選A.
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用;得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
8.下列命題中，真命題是( )
A.相等的圓心角所對的弧相等
B.面積相等的兩個圓是等圓
C.三角形的內(nèi)心到各頂點的距離相等
D.各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形
【考點】命題與定理.
【分析】利用圓周角定理，等圓的定義、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及正多邊形的定義分別判斷后即可確定正確的選項.
【解答】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤，是假命題;
B、面積相等的兩個圓的半徑相等，是等圓，故正確，是真命題;
C、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等，故錯誤，是假命題;
D、各角相等的圓內(nèi)接多邊形可能是矩形，故錯誤，是假命題，
故選B.
【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓周角定理，等圓的定義、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及正多邊形的定義，屬于基礎(chǔ)定義，難度不大.
9.△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的直徑為10，∠ABC=60°，則AC的長是( )
A.5 B.10 C.5 D.5
【考點】圓周角定理.
【分析】首先連接AO，CO，由∠CBA=60°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠AOC的度數(shù)，然后解直角三角形即可求得弦CA的長.
【解答】解：連接AO，CO，過O作OE⊥AC于E，
∵∠CBA=60°，
∴∠COA=2∠CBA=120°，
∴∠ACO=30°，
∵⊙O的直徑為10，
∴OA=OC=5，
在Rt△COE中，CE=OCcos30°= ，
∴AC=2CE=5 .
故選D.
【點評】此題考查了圓周角定理與勾股定理.此題比較簡單，準確作出輔助線，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.
10.已知點A(﹣5，y1)、B(3，y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上，點C(x0，y0)是該拋物線的頂點，若y1>y2≥y0，則x0的取值范圍是( )
A.x0>﹣1 B.x0≥﹣1 C.x0>3 D.x0≥3
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】由于點C(x0，y0)是該拋物線的頂點，y1>y2≥y0，則拋物線開口向上，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當y1=y2時，此時拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，要使y1>y2≥y0，則x0>﹣1.
【解答】解：∵點C(x0，y0)是該拋物線的頂點，y1>y2≥y0，
∴拋物線開口向上，
當y1=y2時，點A與點B為對稱點，此時拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，
當y1>y2≥y0，點A到對稱軸的距離比點B到對稱軸的距離要遠，
∴x0>﹣1.
故選A.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
二、填空題：(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請將答案直接填寫在下面答題欄內(nèi)的相應(yīng)位置)
11.若x=﹣ 是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一個根，則m的值為 m=﹣ .
【考點】一元二次方程的解.
【分析】根據(jù)題意，把x=﹣ 代入方程x2﹣mx+2m=0中，并求得m的值即可.
【解答】解：∵x=﹣ 是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一個根，
∴把x=﹣ 代入方程得： + m+2m=0，
∴m=﹣ ，
故答案為：﹣ .
【點評】本題主要考察了一元二次方程的解(根)的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.解答本題的關(guān)鍵就是把方程的根代入原方程求得m的值.
12.一個不透明的口袋里裝有紅、白、黃三種顏色的乒乓球(除顏色外其余都相同)，其中紅球3個，黃球2個，若從中任意摸出一個球，這個球是黃球的概率是為 ，則口袋中白球的個數(shù)為 3 .
【考點】概率公式.
【分析】首先設(shè)設(shè)白球x個，由一個不透明的口袋里裝有紅、白、黃三種顏色的乒乓球(除顏色外其余都相同)，其中紅球3個，黃球2個，若從中任意摸出一個球，這個球是黃球的概率是為 ，利用概率公式求解即可得： = ，解此分式方程即可求得答案.
【解答】解：設(shè)白球x個，
根據(jù)題意得： = ，
解得：x=3，
經(jīng)檢驗：x=3是原分式方程的解;
∴口袋中白球的個數(shù)為3.
故答案為：3.
【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
13.若銳角θ滿足2sinθ ，則θ= 45 °.
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先根據(jù)題意得出sinθ的值，再由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵2sinθ ，
∴2sinθ= ，
∴sinθ= .
∵θ為銳角，
∴θ=45°.
故答案為：45.
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.
14.若 ，且2a+b=18，則a的值為 4 .
【考點】解二元一次方程組.
【專題】計算題;一次方程(組)及應(yīng)用.
【分析】已知等式整理后，聯(lián)立即可求出a的值.
【解答】解：由 = ，得到5a=2b，
聯(lián)立得： ，
由②得：b=﹣2a+18③，
把③代入①得：5a=﹣4a+36，
解得：a=4，
故答案為：4.
【點評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.
15.若x1，x2是方程3x2﹣2x﹣1=0的兩個實數(shù)根，則2x1+2x2= .
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可直接求出x1+x2的值，即可求出答案.
【解答】解：∵x1，x2是方程3x2﹣2x﹣1=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2= ，
∴2x1+2x2=2(x1+x2)=2× = ，
故答案為： .
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)，當b2﹣4ac≥0時，一元二次方程的兩個根x1、x2具有這樣的關(guān)系：x1+x2=﹣﹣ ，x1•x2= .
16.已知圓錐的底面積為9πcm2，其母線長為4cm，則它的側(cè)面積等于 12π cm2.
【考點】圓錐的計算.
【分析】首先根據(jù)圓錐的底面積求得圓錐的底面半徑，然后代入公式求得圓錐的側(cè)面積即可.
【解答】解：∵圓錐的底面積為9πcm2，
∴圓錐的底面半徑為3，
∵母線長為4cm，
∴側(cè)面積為3×4π=12π，
故答案為：12π;
【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的側(cè)面積的計算方法，難度不大.
17.二次函數(shù)y=x2﹣6x+3m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范值是 m≤3 .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】計算題.
【分析】由于△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，所以△=(﹣6)2﹣4×1×3m≥0，然后解不等式即可.
【解答】解：根據(jù)題意得△=(﹣6)2﹣4×1×3m≥0，
解得m≤3.
故答案為m≤3.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
18.與三角形的一邊和其他兩邊的延長線都相切的圓叫做這個三角形的旁切圓，其圓心叫做這個三角形的旁心.如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(﹣3，0)，B(3，0)，C(0，4).則△ABC位于第二象限的旁心D的坐標是 (﹣5，4) .
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;坐標與圖形性質(zhì).
【分析】設(shè)∠B和∠C的外角平分線交于點P，則點P為旁心，過點P分別為作PE⊥x軸于E，PF⊥CB于F，則PF=PE=OC=4，在Rt△PFC中，利用三角函數(shù)即可求解.
【解答】解：設(shè)∠B和∠C的外角平分線交于點P，則點P為旁心，
∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA，
∴∠PCB=∠CBA，
∴CP∥AB，
過點P分別為作PE⊥x軸于E，PF⊥CB于F，則PF=PE=OC=4，
在Rt△PFC中， ，
∴P(﹣5，4).
故答案為：(﹣5，4).
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外接圓，解這類題一般都利用過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，則正三角形的半徑、內(nèi)切圓半徑和正三角形邊長的一半構(gòu)成一個直角三角形.
三、解答題(本大題共有10小題，共86分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.解方程：
(1)x2﹣5x+6=0;
(2)x(x﹣6)=4.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】(1)利用因式分解法解方程;
(2)先利用配方法把方程變形為(x﹣3)2=13，然后利用直接開平方法解方程.
【解答】解：(1)(x﹣3)(x﹣2)=0，
x﹣3=0或x﹣2=0，
所以x1=3，x2=2;
(2)x2﹣6x=4，
x2﹣6x+9=13，
(x﹣3)2=13，
x﹣3=± ，
所以x1=3+ ，x2=3﹣ .
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).也考查了配方法解一元二次方程.
20.求下列各式的值
(1)sin260°+cos60°tan45°;
(2) .
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)、(2)直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.
【解答】解：(1)原式=( )2+ ×1
= +
= ;
(2)原式= +
= +
= .
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.
21.如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點P，連結(jié)AC.求證：△ABC∽△POA.
【考點】切線的性質(zhì);相似三角形的判定.
【專題】證明題.
【分析】由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可知∠C=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)知∠OAP=90°，從而可證△ABC∽△POA.
【解答】證明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O的切線，切點為A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA.
【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、切線的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.
22.已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x.
(1)在給定的平面直角坐標系中，畫出這個函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)圖象，寫出當y<0時，x的取值范圍;
(3)若將此圖象沿x軸向左平移3個單位，再沿y軸向下平移1個單位，請直接寫出平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換;二次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)確定出頂點坐標和與x軸的交點坐標，然后作出大致函數(shù)圖象即可;
(2)根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分的x的取值范圍;
(3)根據(jù)向左平移橫坐標減，向下平移縱坐標減求出平移后的二次函數(shù)圖象的頂點坐標，然后利用頂點式形式寫出即可.
【解答】解：(1)函數(shù)圖象如圖所示;
(2)當y<0時，x的取值范圍：x<0或x>2;
(3)∵圖象沿x軸向左平移3個單位，再沿y軸向下平移1個單位，
∴平移后的二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(﹣2，0)，
∴平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=(x+2)2.(或y=﹣x2﹣4x﹣4)
【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，作二次函數(shù)圖象一般先求出與x軸的交點坐標和頂點坐標.
23.市射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加省比賽，對他們進行了六次測試，測試成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別計算甲、乙的平均成績.
(2)分別計算甲、乙六次測試成績的方差;
(3)根據(jù)(1)、(2)計算的結(jié)果，你認為推薦誰參加省比賽更合適，請說明理由.
【考點】方差;算術(shù)平均數(shù).
【分析】(1)根據(jù)圖表得出甲、乙每次數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計算公式列式計算即可;
(2)根據(jù)方差公式S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，即可求出甲乙的方差;
(3)根據(jù)方差的意義：反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立，找出方差較小的即可.
【解答】解：(1)甲的平均成績是：(10+8+9+8+10+9)÷6=9，
乙的平均成績是：(10+7+10+10+9+8)÷6=9;
(2)甲的方差= [(10﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+(8﹣9)2+(10﹣9)2+(9﹣9)2]= .
乙的方差= [(10﹣9)2+(7﹣9)2+(10﹣9)2+(10﹣9)2+(9﹣9)2+(8﹣9)2]= .
(3)推薦甲參加全國比賽更合適，理由如下：
兩人的平均成績相等，說明實力相當;但甲的六次測試成績的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，故推薦甲參加比賽更合適.
【點評】此題主要考查了平均數(shù)的求法以及方差的求法，正確的記憶方差公式是解決問題的關(guān)鍵，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為 ，則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.
24.如圖，豎立在點B處的標桿AB高2.4m，站立在點F處的觀察者從點E 處看到標桿頂A、樹頂C在一條直線上，設(shè)BD=8m，F(xiàn)B=2m，EF=1.6m，求樹高CD.
【考點】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】延長CE交DF的延長線于點G，可證明△GFE∽△GBA，得GF的長;可證明△GDC∽△GBA，樹高CD的長即可知.
【解答】解：延長CE交DF的延長線于點G，設(shè)GF為xm，
∵EF∥AB，
∴△GFE∽△GBA，
∴ ，即 = ，
解得x=4，
∵CD∥AB，
∴△GDC∽△GBA，
∴ ，即 ，
解得CD=5.6，
答：樹高CD為5.6m.
【點評】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形.
25.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每下降1元，商場平均每天可多售出2件.
(1)如果商場通過銷售這批襯衫每天獲利1200元，那么襯衫的單價應(yīng)下降多少元?
(2)當每件襯衫的單價下降多少元時，每天通過銷售襯衫獲得的利潤最大?最大利潤為多少元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
【專題】銷售問題.
【分析】(1)總利潤=每件利潤×銷售量.設(shè)每天利潤為w元，每件襯衫應(yīng)降價x元，據(jù)題意可得利潤表達式，再求當w=1200時x的值;
(2)根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【解答】解：(1)設(shè)襯衫的單價應(yīng)下降X元，
由題意得：1200=×(40﹣x)，
解得：x=20或10，
∴每天可售出=60或40件;
經(jīng)檢驗，x=20或10都符合題意.
∵為了擴大銷售，增加盈利，
∴x應(yīng)取20元.
答：襯衫的單價應(yīng)下降20元.
(2)w=(40﹣x)=﹣2x2+60x+800=﹣2(x﹣15)2+1250，
當x=15時，盈利最多為1250元.
【點評】本題考查了二次函數(shù)及其應(yīng)用問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識之一，是運用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實中的最值問題的常用方法和經(jīng)典模型;應(yīng)牢固掌握二次函數(shù)的性質(zhì).
26.如圖，小島A在港口P的南偏東45°方向，距離港口100海里處.甲船從A出發(fā)，沿AP方向以10海里/小時的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿北偏東30°方向，以20海里/小時的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時出發(fā)，出發(fā)后幾小時乙船在甲船的正北方向?(結(jié)果精確到0.1小時)(參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過點P作PE⊥CD，根據(jù)余弦的定義分別表示出PE，列出方程，解方程即可.
【解答】解：設(shè)出發(fā)后x小時乙船在甲船的正北方向.
此時甲、乙兩船的位置分別在點C、D處.
連接CD，過點P作PE⊥CD，垂足為E.則點E在點P的正東方向.
在Rt△CEP中，∠CPE=45°，
∴PE=PC•cos45°，
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
∴PE=PD•cos60°，
∴PC•cos45°=PD•cos60°，
∴(100﹣10x)•cos45°=20x•cos60°.
解這個方程，得x≈4.1，
答：出發(fā)后約4.1小時乙船在甲船的正東方向.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確標注方向角、靈活運用銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.
27.(1)嘗試探究：“如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊上的中點，點G是射線CD上一點(點G不與點C重合)，BG交AE于點F，若 = ，求 的值.”在解決這一問題時，我們可以過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 AB= EH ，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是 CG=2EH ， 的值是 ;
(2)類比延伸：如圖2，在□ABCD中，點E是BC邊上的點(點E不與B、C兩點重合)，點G是射線CD上一點(點G不與點C重合)，BG交AE于點F，若 =m， =n，求 的值;(用含m、n的代數(shù)式表示，寫出解答過程)
(3)應(yīng)用遷移：在□ABCD中，點E是BC邊上的點(點E不與B、C兩點重合)，點G是射線CD上一點(點G不與點C重合)，BG交AE于點F，若 = ， = ，則 的值為 或 .
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)由EH∥AB，AB∥CD得到 = ， ，找到EH、AB、CG之間的關(guān)系即可解決問題.
(2)類似(1)通過平行成比例找到EH、AB、CG之間的關(guān)系即可解決問題.
(3)分兩種情形討論，找到AB、EH、CG之間個關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)∵EH∥AB，AB∥CD，
∴ = ， ，
∴AB= EH，CG=2EH，
∵AB=CD，
∴ = = .
故答案分別為AB= ，CG=2EH， .
(2)過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴ ，∵AB=CD，∴CD=mEH，
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，
∴ ，
∴CG= ，
∴ ，
(3)①當點G在線段CD上時(見圖1)，過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴ ， ，
∴HE= ，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴ = ，
∴ .
?、诋旤cG在CD的延長線上(見圖2)，過點E作EH∥AB交BG于點H，
∴ ， ，
∴HE= ，
∵ ，
∴ ，
∴CG= ，
∴ = ，
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴ = ，
∴ .
故答案為 或 .
【點評】此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
(2)此題還考查了類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握.
28.如圖，在平面直角坐標系中，已知A、B、C三點的坐標分別為A(﹣2，0)，
B(6，0)，C(0，﹣3).
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)過C點作CD平行于x軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標，并求AD、BC的交點E的坐標;
(3)若拋物線的頂點為P，連結(jié)PC、PD.
①判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由;
?、谌粼趻佄锞€上存在點Q，使直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個部分，求點Q的坐標.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由拋物線經(jīng)過點C(0，﹣3)，設(shè)出其解析式y(tǒng)=ax2+bx﹣3(a≠0)，再將A、B點坐標代入即可得出結(jié)論;
(2)由拋物線的對稱性可找到D點的坐標，分別求出AD、BC直線的解析式，聯(lián)立方程組即可求得交點E的坐標;
(3)①連接PE交CD于F點，找出F點坐標，由對角線互相垂直且平分，可得出四邊形CEDP為菱形;②根據(jù)菱形的特征可知，若想面積平分，必過對角線的交點F，聯(lián)立直線OF和拋物線的解析式，即可求出Q點的坐標.
【解答】解：(1)由于拋物線經(jīng)過點C(0，﹣3)，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx﹣3(a≠0)，
∵A(﹣2，0)、B(6，0)在拋物線圖象上，
∴有 ，解得 ，
∴拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣3.
(2)拋物線的對稱軸為x=﹣ =2，
∵CD∥x軸，
∴C、D關(guān)于對稱軸x=2對稱，
故D點坐標為(2×2﹣0，﹣3)，即D(4，﹣3).
設(shè)直線AD的解析式為y=k1x+b1，直線BC的解析式為y=k2x+b2，
那么有 和 ，
解得 和 ，
∴直線AD的解析式為y=﹣ x﹣1，直線BC的解析式為y= x﹣3.
解 ，得 ，
∴直線AD、BC的交點E的坐標(2，﹣2).
(3)①連接PE交CD于F點，如圖：
∵P點為拋物線y= x2﹣x﹣3的頂點，
∴P點坐標為(2，﹣4).
又∵E(2，﹣2)，C(0，﹣3)，D(4，﹣3)，
∴直線CD解析式為y=﹣3，直線EF解析式為x=2，
∴F點的坐標為(2，﹣3)，且CD⊥EP，
∴PF=EF=1，CF=FD=2，
∴四邊形CEDP是菱形.
?、诩僭O(shè)存在，
∵直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個部分，
∴直線OQ必過點F(2，﹣3).
設(shè)直線OQ的解析式為y=kx，則有﹣3=2k，即k=﹣ ，
∵Q點在直線OQ和拋物線上，
∴點Q的坐標滿足 ，
解得 或 ，
故存在點Q，使得直線OQ將四邊形PCED分成面積相等的兩個部分，Q點的坐標為(﹣1+ ， )和(﹣1﹣ ， ).
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、菱形的判定與性質(zhì)以及直線的交點問題，解題的關(guān)鍵：(1)代入已知點，細心計算即可求得拋物線解析式;(2)由對稱性找到D點坐標，再分別求出直線AD、BC解析式，即可求得交點坐標;(3)①牢記菱形的判定定理;②熟悉菱形的特征.
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