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      2017廣西桂林中考數(shù)學(xué)模擬試題(2)

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        2017廣西桂林中考數(shù)學(xué)模擬真題答案

        一、選擇題

        題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

        答 案 A D C B C B C B D A

        二、填空題

        題 號(hào) 11 12 13 14 15 16

        答 案 80 直角 6 8 + +2

        135

        三、解答題

        17.(本小題滿分9分)

        解法一(加減消元法):

       ?、?②,得( + )-( - )=-5-7,…………………………3分

        即 =-12,…………………………………………………………………4分

        解得 =-2,……………………………………………………………………5分

        把 =-2代入②,………………………………………………………………6分

        -4×(-2)=7,…………………………………………………………7分

        得 =-1,………………………………………………………………………8分

        ∴原方程組的解為 .……………………………………………………9分

        [若用②-①、①×2+②等,均參照給分]

        解法二(代入消元法):

        由①得, =- -5   ③,……………………………………………3分

        把③式代入②式,…………………………………………………………………4分

        得(- -5)- =7,……………………………………………………5分

        解得 =-2,……………………………………………………………………6分

        把 =-2代入③式,……………………………………………………………7分

        =-2×(-2)-5=-1,………………………………………………8分

        ∴原方程組的解為 .……………………………………………………9分

        [由②式變形代入,均參照給分]

        18.(本小題滿分9分)

        證法一:

        ∵四邊形ABCD為菱形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC,………………2分

        又∵BE=DF,∴AB-BE=AD-DF,……………………………………4分

        即AE=AF.…………………………………………………………………………5分

        在△ACE和△ACF中,

        ∵ ,…………………………………………………………………8分

        ∴△ACE≌△ACF(SAS).……………………………………………………9分

        證法二:

        ∵四邊形ABCD為菱形,∴BC=DC,∠B=∠D,…………………………1分

        在△BCE和△DCF中,

        ∵ ,…………………………………………………………………………2分

        ∴△BCE≌△DCF(SAS),……………………………………………………3分

        ∴CE=CF.…………………………………………………………………………4分

        ∵AB=AD,BE=DF,AB-BE=AD-DF,…………………………5分

        即AE=AF.…………………………………………………………………………6分

        在△ACE和△ACF中,

        ∵ ,…………………………………………………………………………8分

        ∴△ACE≌△ACF(SSS).……………………………………………………9分

        19.(本小題滿分10分)

        解:(1)

        樹狀圖如下:

        點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)有:(1,2),(1,3),(1,4),

        (2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),

        (3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12種;……………………7分

        列表如下:

        (1,2) (1,3) (1,4)

        (2,1) (2,3) (2,4)

        (3,1) (3,2) (3,4)

        (4,1) (4,2) (4,3)

        (注:樹形圖或列表二者取其一)

        (2)∵共有12種等可能的結(jié)果,

        其中在函數(shù) =- +4圖象上的點(diǎn)有2個(gè)(2種),………………………1分

        即(1,3),(3,1),

        ∴點(diǎn)P( , )在函數(shù) =- +4圖象上的概率為:

        P(點(diǎn)在圖象上)= = .…………………………………………………3分

        20.(本小題滿分10分)

        解:(1)-8;…………………………………………………………………2分

        (2)∵OA=OB=2,∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)

        分別為A(2,0)、B(0,2).……………………………………………2分

        設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析為 = + ,……………………………3分

        分別把A、B的坐標(biāo)代入其中,得

        ,……………………………………………………………………4分

        解得 ,…………………………………………………………………5分

        ∴一次函數(shù)的解析為 =- +2;

        (3)由(1) =-8,

        則 + +7= - +7

        =( -1)( -7).……………………………………3分

        21.(本小題滿分12分)

        解:(1)尺規(guī)作圖略;…………………………………………………………3分

        (2)EF∥BC(即EF平行于BC).……………………………………1分

        原因如下:如圖1,∵∠CAD=∠CDA,

        ∴AC=DC(等角對(duì)等邊),即△CAD為等腰三角形;…………………2分

        又CF是頂角∠ACD的平分線,由“三線合一”定理,

        知CF是底邊AD的中線,即F為AD的中點(diǎn),……………………………3分

        結(jié)合E是AB的中點(diǎn),得EF為△ABD的中位線,………………………4分

        ∴EF∥BD,從而EF∥BC;……………………………………………5分

        (3)由(2)知EF∥BC,∴△AEF∽△ABD,…………………1分

        ∴ ,……………………………………………………………2分

        又∵AE= AB,∴得 ,

        把S四邊形BDFE=9代入其中,解得

        S△AEF=3,………………………………………………………………………3分

        ∴S△ABD=S△AEF+S四邊形BDFE=3+9=12,……………………………4分

        即△ABD的面積為12.

        22.(本小題滿分12分)

        解:設(shè)輪船的日速為 千米/日,…………………………………………………1分

        由題意,得 ×3= ,…………………………………………7分

        解此分式方程,得 =392,……………………………………………………9分

        經(jīng)檢驗(yàn), =392是原分式方程的解,………………………………………10分

        -49=735.……………………………………………………………11分

        答:列車的速度為735千米/日;輪船的速度為392千米/日.………12分

        23.(本小題滿分12分)

        解:(1)30;……………………………………………………………………1分

        (2)連結(jié)OD、AD(如圖2).

        ∵OA⊥OC,∴∠AOC=90°.∵ =2 ,

        設(shè) 所對(duì)的圓心角∠COD= ,………………………………………………1分

        則∠AOD= ,…………………………………………………………………2分

        由∠AOD+∠DOC=90°,

        得 + =90°,∴ =30°, =60°,…………………………3分

        即∠AOD=60°,又∵OA=OD,∴△AOD為等邊三角形,…………4分

        ∴AD=OA=4;…………………………………………………………………5分

        (3)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OC,交⊙O于點(diǎn)E,……………………………………1分

        連結(jié)AE,交OC于點(diǎn)P(如圖3),………………………………………………2分

        則此時(shí),AP+PD的值最小.

        ∵根據(jù)圓的對(duì)稱性,點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn),

        OC是DE的垂直平分線,即PD=PE.………………………………………3分

        ∴AP+PD=AP+PE=AE,

        若在OC上另取一點(diǎn)F,連結(jié)AF、FD及EF,

        在△AFE中,AF+FE>AE,

        即AF+FE>AP+PD,

        ∴可知AP+PD最小.…………………………………………………………4分

        ∵∠AED= ∠AOD=30°,

        又∵OA⊥OC,DE⊥OC,∴OA∥DE,

        ∴∠OAE=∠AED=30°.

        延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)B,連結(jié)BE,∵AB為直徑,

        ∴△ABE為直角三角形.由 =cos∠BAE,……………………………5分

        得AE=AB•cos30°=2×4× = ,……………………………6分

        即AP+PD= ,

        [也可利用勾股定理求得AE]

        24.(本小題滿分14分)

        解:(1)把D(0,-3)坐標(biāo)代入直線 = + 中,

        得 =-3,從而得直線 = -3.……………………………………………1分

        由M為直線 =- 與直線 = -3的交點(diǎn),

        得 ,………………………………………………………………………2分

        解得 ,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,-1).…………………………………3分

        ∵M(jìn)為二次函數(shù) = + + 的頂點(diǎn),∴其對(duì)稱軸為 =2,

        由對(duì)稱軸公式: =- ,得- =2,∴ =-4;

        由 =-1,得 =-1,得 =3.

        ∴二次函數(shù) = + + 的解析式為: = -4 +3;………………4分

        [也可用頂點(diǎn)式求得解析式:由M(2,-1),

        得 = -1,展開得 = -4 +3]

        (2)∵M(jìn)是直線 =- 和 = + 的交點(diǎn),得 ,

        解得 ,∴得M點(diǎn)坐標(biāo)為M(- , ).…………………………1分

        從而有- =- 和 = ,

        解得 = ; = + .…………………………………………………3分

        由 ,得 +( -1) + - =0,……………………4分

        該一元二次方程根的判別式

        ⊿=( -1)2-4( - )

        =( -1)2-4( + - )=1>0,…………………………5分

        ∴二次函數(shù) = + + 的圖象與直線 = + 總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

        (3)解法①:

        由(1)知,二次函數(shù)的解析式為: = -4 +3,

        當(dāng) =0時(shí), =3.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(0,3).……………………………1分

        令 =0,即 -4 +3=0,解得 =1, =3,

        ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(3,0).………………………………………………………2分

        由勾股定理,得AC=3 .∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M(2,-1),

        過(guò)M點(diǎn)作 軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(2,0),由勾股定理,

        得AM= ;過(guò)M點(diǎn)作 軸的垂線,垂足的坐標(biāo)應(yīng)為(0,-1),

        由勾股定理,得CM= = =2 .

        ∵AC2+AM2=20=CM2,∴△CMA是直角三角形,……………………3分

        CM為斜邊,∠CAM=90°.

        直線 =- 與△CMA的外接圓的一個(gè)交點(diǎn)為M,另一個(gè)交點(diǎn)為P,

        則∠CPM=90°.即△CPM為Rt△.………………………………………4分

        設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,則P( ,- ).過(guò)點(diǎn)P作 軸垂線,

        過(guò)點(diǎn)M作 軸垂線,兩條垂線交于點(diǎn)E(如圖4),則E( ,-1).

        過(guò)P作PF⊥ 軸于點(diǎn)F,則F(0,- ).

        在Rt△PEM中,PM2=PE2+EM2

        =(- +1)2+(2- )2= -5 +5.

        在Rt△PCF中,PC2=PF2+CF2= +(3+ )2

        = +3 +9.在Rt△PCM中,PC2+PM2=CM2,

        得 +3 +9+ -5 +5=20,

        化簡(jiǎn)整理得5 -4 -12=0,解得 =2, =- .

        當(dāng) =2時(shí), =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

        ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為- ,縱坐標(biāo)為 .

        ∴P(- , ).……………………………………………………………………5分

        解法②[運(yùn)用現(xiàn)行高中基本知識(shí)(解析幾何):線段中點(diǎn)公式及兩點(diǎn)間距離公式]:

        設(shè)線段CM的中點(diǎn)(即△CMA內(nèi)接圓的圓心)為H,則由線段中點(diǎn)公式,可求出H的坐標(biāo)為H(1,1).∵點(diǎn)P在⊙H上,∴點(diǎn)P到圓心H的距離等于半徑.

        設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P( ,- ),由兩點(diǎn)間的距離公式,得PH的長(zhǎng)度為:

        ,從而有: = ,即

        =5,化簡(jiǎn),整理,得化簡(jiǎn)整理得5 -4 -12=0,解得 =2, =- .當(dāng) =2時(shí), =-1,即為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).

        ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為- ,縱坐標(biāo)為 .

        ∴P(- , ).

        [對(duì)該解法,可相應(yīng)給分]

        25.(本小題滿分14分)

        解:(1)42;……………………………………………………………………1分

        (2)畫圖如下(如圖5).………………………………………………………3分

        ∵∠DA =90°,∠CAD=20°,

        ∴∠CA =∠DA -∠CAD=90°-20°=70°;…………5分

        (3)畫圖如下:將△BDC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°…………………2分

        到△BEF的位置(如圖6).

        連結(jié)DE,CF,這樣可知△BDE和△BCF均為等邊三角形,

        從而DE= ,CF= .

        ∵∠ADB=120°,∠BDE=60°,即∠ADE=180°,

        則A、D、E三點(diǎn)共線(即該三點(diǎn)在同一條直線上).……………………………3分

        同理,∵∠BEF=∠BDC=120°,∠BED=60°,

        即∠DEF=180°,則D、E、F三點(diǎn)共線,

        ∴A、D、E、F四點(diǎn)均在一條直線上.…………………………………………4分

        ∵EF=DC= ,∴線段AF= + + .

        以線段AF為邊在點(diǎn)B一側(cè)作等邊△AFG(圖6),……………………………5分

        則△AFG即為符合條件的等邊三角形,其中的點(diǎn)B即為點(diǎn)M.…………………6分

        正三角形的邊長(zhǎng)為 + + 已證,BA= ,BF=BC= ,

        下面再證BG= .

        ∵∠CFB=∠AFG=60°,

        即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°,∴∠1=∠2.

        在△AFC和△GFB中,∵FA=FG,∠1=∠2,F(xiàn)C=FB,

        ∴△AFC≌△GFB(SAS),

        ∴AC=GB,即BG=CA= .

        從而點(diǎn)B(M)到等邊△AFG三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為 、 、 ,

        且其邊長(zhǎng)為 + + .………………………………………………………………8分

        [注:把△ADB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

        把△CDA繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

        把△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,

        把△BCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°等

        均可證得,方法類似]

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